Chương 2

BÀI TOÁN LUỒNG CỰC ĐẠI VỚI KHẢ NĂNG THễNG QUA CÁC CUNG – CÁC ĐỈNH

Bài toán luồng cực đại trong mạng là một trong số những bài toán tối ưu trên đồ thị tìm được những ứng dụng rộng rãi trong thực tế cũng như những ứng dụng thú vị trong lý thuyết tổ hợp. Bài toán được đề xuất vào đầu những năm 1950, và gắn liền với tên tuổi của hai nhà bác học Mỹ là Ford và Fulkerson. Bài toán luồng cực đại trong mạng có nhiều ứng dụng trong thực tế như: Bài toán xác định cường độ dòng lớn nhất của dòng vận tải giữa hai nút của một bản đồ giao thông, bài toán tìm luồng dầu lớn nhất có thể bơm từ tàu chở dầu vào bể chứa của một hệ thống đường ống dẫn dầu…Ngoài ra, ứng dụng của bài toán còn để giải các bài toán như: Bài toán đám cưới vùng quê, bài toán về hệ thống đại diện chung, bài toán phân nhóm sinh hoạt, bài toán lập lịch cho hội nghị …Trong phạm vi đề tài này tôi sẽ trình bày “bài toán luồng cực đại trong mạng với khả năng thông qua các cung các đỉnh” và phải nhờ thuật toán của Ford và Fulkerson để giải bài toán đặt ra và nêu một số ứng dụng của bài toán.

I. PHÁT BIỂU BÀI TOÁN

1. Bài toỏn

Giả xử trong đồ thị G = (V,E), ngoài khả năng thông qua của các cung c(u,v), ở mỗi đỉnh v Î V còn có khả năng thông qua của đỉnh là d(v), và đòi hỏi tổng luồng đi vào đỉnh v không còn vượt quá d(v), tức là

Cần phải tìm luồng cực đại giữa s và t trong mạng như vậy.

              Xừy dựng một mạng G’ sao cho: mỗi đỉnh v của G tương ứng với hai đỉnh v+, v- trong G’, mỗi cung (u,v) trong G ứng với cung (u, v+) trong G’, mỗi cung (v,w) trong G ứng với cung (v-, w+) trong G’. Ngoài ra, mỗi cung (v+, v-) trong G’ có khả năng thông qua là d(v), tức là bằng khả năng thông qua của đỉnh v trong G.

2. Giải quyết bài toỏn

Từ mạng G = (V,E) khả năng thông qua các cung và các đỉnh. Ta sẽ giải quyết theo hai bước sau:

              10 Xỏc định mạng G’.

              20 Tìm luồng cực đại trong mạng G’. Bắt đầu từ luồng zero với khả năng thông qua cung.