LỜI MỞ ĐẦU

Xác Suất Thống Kê là lĩnh vực Toán học ứng dụng, nó đòi hỏi một cơ sở toán học sâu sắc. Ngày nay các mô hình Xác Suất đã thực sự được ứng dụng rộng rãi trong Khoa Học Tự Nhiên cũng như Khoa Học Xã Hội.

Trong luận văn này, nghiên cứu về khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên. Về mặt lý thuyết chúng có nhiều tính chất thú vị liên hệ với các quá trình ngẫu nhiên khác. Về mặt ứng dụng chúng trở thành công cụ toán học có hiệu lực cho nhiều vấn đề trong các lĩnh vực khác nhau như toán học, vật lý, sinh học, cơ học, khoa học trái đất, kinh tế

Luận văn này gồm 3 chương :

Chương 1 : “MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN “

Trong chương này nghiên cứu và nhắc lại kiến thức cơ bản cần cho luận văn này, cần đọc kỹ các khái niệm và nắm vững các kết quả như được mở đầu bằng việc giới thiệu không gian Hilbert gồm các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích với vô hướng là hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên, dùng phép chiếu trực giao để xây dựng phép xấp xỉ tuyến tính và lập phương trình dự đoán, tiếp theo nêu khái niệm kỳ vọng có điều kiện và chứng tỏ rằng kỳ vọng có điều kiện là dự đoán tốt nhất. Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên cũng được nghiên cứu trong chương này. Ngoài ra còn nghiên cứu quá trình Wiener và tích phân Ito là hai khái niệm quan trọng khi nghiên cứu về quá trình ngẫu nhiên. Đây là những khái niệm cơ bản và là cơ sở để nghiên cứu những vấn đề tiếp theo.

Chương 2 : “ ĐA THỨC HERMITE VÀ KHAI TRIỂN FOURIER – HERMITE “

Chương này nghiên cứu các định nghĩa, các tính chất và bổ đề của đa thức Hermite và tính chất của khai triển Fourier – Hermite. Một vài bổ đề ứng dụng được chứng minh trong chương này là công cụ chính để ta sử dụng tiếp cho chương sau.

Chương 3 : “ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE ”

Chương này mở rộng đa thức Hermite của chương 2 đó là nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Bắt đầu khái niệm về quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Sau đó mở rộng khái niệm là xác định hàm Hermite chuẩn suy rộng, sử dụng chúng để thu được tập trực chuẩn đầy đủ trong và . Cuối cùng nghiên cứu và nêu được một số đặc tính của vi phân ngẫu nhiên đối với quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite.\

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn . 1

Lời nói đầu . 2

Mục lục . 4

CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN . 7

§1.1 Không gian file:///C:/DOCUME%7E1/TRUNGD%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif 7

1.1.1 Biến ngẫu nhiên 7

1.1.2 Định nghĩa 7

1.1.3 Định nghĩa 8

1.1.4 Tính chất 9 1.1.5 Định lý (Định lý về phép chiếu trong không gian Hilbert) 9

1.1.6 Tính chất của phép chiếu . 12 1.1.7 Phép xấp xỉ tuyến tính trong L2 12

1.1.8 Phương trình dự đoán . 13

1.1.9 Kỳ vọng có điều kiện và dự đoán tốt nhất trong L2 14

§1.2 Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên .16

1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên biểu diễn dưới dạng tổng các hàm ngẫu nhiên cơ bản 16

1.2.2 Khai triển chính tắc quá trình ngẫu nhiên 18

1.2.3 Đưa quá trình ngẫu nhiên về dạng chính tắc 20

1.2.4 Mốt số khai triển chính tắc đặc biệt 22

§1.3 Cơ sở trực giao và trực chuẩn trong không gian Hilbert 25

1.3.1 Định nghĩa (Trực giao và trực chuẩn) 25 1.3.2 Định nghĩa ( Cơ sở ) 25

1.3.3 Định nghĩa ( Cơ sở trực giao và trực chuẩn ) 26

1.3.4 Định nghĩa ( Phép chiếu trực giao ) 26

§1.4 Quá trình Wiener 27

1.4.1 Định nghĩa ( Quá trình Wiener ) 27

1.4.2 Các tính chất quá trình Wiener và độ đo 27

1.4.3 Quá trình Wiener n - chiều 37

§1.5 Tích phân Ito 39

1.5.1 Định nghĩa 39

1.5.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Ito 40

1.5.3 Tích phân Ito nhiều chiều 43

1.5.4 Vi phân ngẫu nhiên của hàm hợp, công thức Ito . 44

CHƯƠNG 2 ĐA THỨC HERMITE VÀ KHAI TRIỂN FOURIER –

HERMITE

§2.1 Đa thức Hermite 48

[*]Định nghĩa 48

[*]Liên hệ giữa đa thức trực giao và đa thức Hermite 49

[*]Đạo hàm của đa thức Hermite 50

[*]Các bổ đề của đa thức Hermite 53

§2.2 Khai triển Fourier – Hermite của hàm biến ngẫu nhiên Gauss 57

2.2.1 Khai triển Fourier – Hermite 57 2.2.2 Tính chất 58

CHƯƠNG 3 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE 60

§3.1 Khái niệm về quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite 60

[*]Định nghĩa 60

[*]Các ví dụ 60

§3.2 Tập trực chuẩn đầy đủ trong file:///C:/DOCUME%7E1/TRUNGD%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif và file:///C:/DOCUME%7E1/TRUNGD%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.gif . 62

[*]Định nghĩa 62

[*]Các tính chất 62

[*]Định nghĩa . 64

[*]Tính chất 65

§3.3 Một số đặc tính của vi phân ngẫu nhiên 66

[*]Định nghĩa 66

[*]Định lý 67

[*]Bổ đề 67

[*]Hệ quả 69

[*]Các tính chất của quá trình dạng Hermite 70

KẾT LUẬN 74

TÀI LIỆU THAM KHẢO 7