MỤC LỤC

Mục lục i

Lời mở đầu 1

Chương 1 đặc trưng của nhóm abel hữu hạn 3

1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản . 3

1.2 Hệ thức trực giao của các đặc trưng . 6

1.3 Thặng dư bậc hai, kí hiệu Legendre . 8

1.4 Đặc trưng trên trường hữu hạn Fq, tổng Gauss 10

1.5 Đặc trưng môđun k . 14

Chương 2 phương trình trên nhóm abel hữu hạn 16

2.1 Biến đổi Fourier trên nhóm Abel hữu hạn 16

2.1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản 16

2.1.2 Luật thuận nghịch bậc hai 19

2.1.3 Biến đổi Fourier của hàm đặc trưng . 24

2.2 Phương trình x1 x2 [FONT="]☎☎☎ xk [FONT="]✏ a . 27

Chương 3 phương trình đồng dư bậc cao 32

3.1 Tổng Jacobi . 32

3.1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản 32

3.1.2 Một số dạng mở rộng của tổng Jacobi 36

3.2 Phương trình α1x11 [FONT="]☎☎☎ αnxnn [FONT="]✏ α . 43

3.3 Phương trình đồng dư A1x11 A2x22 [FONT="]✑ A♣mod pq 46

3.3.1 Số nghiệm của phương trình A1x1 A2x2 [FONT="]✑ A ♣mod pq 46

3.3.2 Số nghiệm của phương trình A1x1 A2x2 [FONT="]✑ A ♣mod pq 53

3.3.3 Điều kiện đủ để phương trình A1x11 A2x22 ✑ A ♣mod pq

có nghiệm . 56

Kết luận . 61

Tài liệu tham khảo 62

LỜI MỞ ĐẦU

Một trong những bài toán trung tâm của lý thuyết số là tìm nghiệm và

xét tính chất nghiệm hữu tỉ của phương trình. Nghiệm của một phương trình

trên các nhóm Abel hữu hạn (đặc biệt là trên các trường hữu hạn) có quan

hệ mật thiết với nghiệm hữu tỉ cũng như nghiệm phức của phương trình đó.

Phương trình trên nhóm Abel hữu hạn là một đối tượng đã được các nhà

toán học nghiên cứu từ lâu và đến nay vẫn còn được quan tâm rộng rãi.

Một trong các khía cạnh nghiên cứu của vấn đề này là bài toán xác định số

nghiệm của phương trình trên nhóm Abel hữu hạn. Luận văn Phương trình

trên nhóm Abel hữu hạn nhằm tìm hiểu về nghiệm của phương trình trên

nhóm Abel hữu hạn và nghiệm của các phương trình đồng dư trên vành các

số nguyên.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành ba chương, trong đó nội dung chính của luận văn được trình bày ở Chương 2 và Chương 3.

Trong phần đầu của Chương 1 chúng tôi trình bày khái niệm các đặc trưng của nhóm hữu hạn và các khái niệm cần thiết cho các phần sau. Tiếp theo chúng tôi trình bày chi tiết về nhóm các đặc trưng và hệ thức trực giao của các đặc trưng. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày một số đặc trưng cụ thể trên trường hữu hạn Fq cũng như ý nghĩa của nó qua tổng Gauss trên trường hữu hạn (các Mệnh đề 1.4.9, 1.4.11).

Trong Chương 2 chúng tôi trình bày về phép biến đổi Fourier trên nhóm

Abel hữu hạn và một số ứng dụng. Chúng tôi bắt đầu từ việc xây dựng các

định nghĩa, ví dụ cũng như những tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier

trên nhóm Abel hữu hạn (Đẳng thức Parseval, các Mệnh đề 2.1.10, 2.1.12).

Sau đó chúng tôi đã sử dụng các tính chất của biến đổi Fourier để chứng

minh Luật thuận nghịch bậc hai và giải bài toán tìm số nghiệm của phương trình trên nhóm Abel hữu hạn. Phần cuối của chương là chứng minh Định lý Fermat trên trường hữu hạn.

Trong Chương 3 chúng tôi trình bày về tổng Jacobi và ứng dụng của nó.

Phần đầu chúng tôi giới thiệu khái niệm và các tính chất cơ sở của tổng Jacobi.

Từ đó chúng tôi làm rõ được với mỗi số nguyên tố p có dạng p ✏ 4f 1 đều

là tổng của bình phương của hai số nguyên. Phần sau chúng tôi sử dụng tổng

Jacobi để tìm số nghiệm của phương α1x11 ☎☎☎ αnxnn ✏ α trên trường Fp.

Đồng thời giải một số bài toán về số nghiệm của phương trình đồng dư dạng

A1x11 A2x22 ✑ A ♣mod pq trên vành các số nguyên. Ngoài ra, chúng tôi

còn sử dụng phần mềm Maple để kiểm tra lại các kết quả tính toán từ các

ví dụ minh họa.

Cuối cùng, cho phép tôi được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS.

Nguyễn An Khương, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi thực hiện luận

văn này. Nhân đây, tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Phòng

Sau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Quy Nhơn; Trường THPT Phan

Đình Phùng -ĐăkLăk đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học.

Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán đã giảng dạy và giúp đỡ

tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu khoa học cũng như thực hiện đề tài.

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã cùng chia sẻ, động viên và

giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.

Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được sự hướng dẫn nhiệt tình của

thầy giáo hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạn

chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận

được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.