MỤC LỤC

Trang

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

LỜI MỞ ĐẦU . 4

Chương I. PHƯƠNG PHÁP STEIN

1.1 Giới thiệu. 7

1.2 Toán tử sinh. 9

Chương II. PHƯƠNG PHÁP STEIN CHO XẤP XỈ POISSON

2.1 Đặt vấn đề. 12

2.2 Phương trình Stein cho và nghiệm của nó. 14

2.3 Ước lượng sai số trong xấp xỉ Poisson. 19

Chương III. PHƯƠNG PHÁP STEIN CHO XẤP XỈ POISSON PHỨC HỢP

3.1 Phân bố CP(). 27

3.2 Tại sao phải xấp xỉ Poisson Phức hợp. 27

3.3 Phương trình Stein cho và nghiệm của nó. 28

3.4 Ước lượng sai số trong xấp xỉ Poisson phức hợp. 35

Chương IV. PHƯƠNG PHÁP STEIN CHO XẤP XỈ CHUẨN

4.1 Giới thiệu. 42

4.2 Những kiến thức cơ bản của phương pháp Stein. 46

4.2.1 Đặc trưng của phân bố chuẩn. 46

4.2.2 Tính chất nghiệm của phương trình Stein. 49

4.2.3 Cấu trúc của đồng nhất Stein. 50

4.3 Xấp xỉ chuẩn của những hàm trơn. 52

4.3.1 Những biến ngẫu nhiên độc lập. 55

4.3.2 Những biến ngẫu nhiên phụ thuộc địa phương. 62

4.3.3 Những cặp hoán đổi được. 65

Chương V. PHƯƠNG PHÁP STEIN CHO XẤP XỈ MŨ

5.1 Phương trình Stein. 72

5.2 Nghiệm của phương trình Stein : Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 73

5.3 Tốc độ hội tụ của một phân phối mũ cụt 74

5.4 Hướng đến một cận tổng quát 75

5.5 Phương pháp Stein cho xấp xỉ hình học. 77

Chương VI. ĐỊNH HƯỚNG ỨNG DỤNG TRONG RADAR

6.1 Đánh giá xấp xỉ của thống kê nhiễu xạ trong việc dò tìm 79

6.2 Thời gian dò tìm trong sơ đồ CFAR 81

6.3 Mô hình vết đốm trong khẩu độ mở nghịch đảo Radar (Inverse Synthetic Aperture Radar) 82

KẾT LUẬN . 85

TÀI LIỆU THAM KHẢO . 86

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết xác suất trong nửa đầu thế kỷ 20 đã có những thành tựu vượt bậc trong việc lập công thức và chứng minh các định lý giới hạn cổ điển như: Luật số lớn, Định lý giới hạn trung tâm, Luật loga lặp cho tổng các biến ngẫu nhiên độc lập. Phương pháp cổ điển chủ yếu dựa vào phép biến đổi Fourier. Tất cả các định lý đều liên quan đến tổng các biến ngẫu nhiên độc lập. Tuy nhiên quan hệ phụ thuộc thường xuất hiện nhiều hơn trong áp dụng và bắt đầu được nghiên cứu nhiều từ năm 1950. Trong trường hợp không độc lập thì phương pháp Fourier rất khó áp dụng và sự chính xác của xấp xỉ rất khó tìm ra.

Trong hoàn cảnh đó, Charler Stein đã giới thiệu một phương pháp mới được gọi là phương pháp Stein (1970). Mục đích của phương pháp Stein nhằm xấp xỉ một phân bố này bằng một phân bố khác và đánh giá sai số ước lượng. Phương pháp này mang lại ước lượng tường minh của sai số xấp xỉ với điều kiện có tính độc lập hoặc không độc lập. Với những ưu điểm của phương pháp này mà nó ngày càng có tầm quan trọng và được phát triển hơn nữa. Đây là một phương pháp mới, hiện đại và có nhiều ứng dụng trong thực tế.

Radar (viết tắt của Radio direction and ranging – Định hướng và định tầm bằng vô tuyến) là thiết bị để định vị các vật thể trong không gian, tìm hướng và điều khiển bằng các sóng vô tuyến tần số cao phát ra và phản xạ trở lại. Hướng của một vật thể được xác định bằng cách truyền đi một chùm sóng vô tuyến bước sóng ngắn và thu lại chùm phản xạ. Khoảng cách được xác định bằng cách đo thời gian đi của sóng vô tuyến (theo tốc độ ánh sáng) đến vật thể và quay trở lại. Radar về cơ bản được dùng để dò tìm trong bóng đêm, mây và sương mù, và được sử dụng rộng rãi trong quốc phòng để phát hiện, theo dõi máy bay và tên lửa của kẻ địch.

Trong phân tích xử lý tín hiệu radar, nhiều xấp xỉ đã được đưa vào để làm đơn giản phân tích hệ thống. Trong phạm vi dò tìm của radar, tín hiệu nhận vào thường xảy ra sự nhiễu phản xạ và tạp âm, sự nhiễu phản xạ này được thể hiện qua những vết đốm trên màn hình hiển thị. Những phân phối xác suất như phân phối Rayleigh, phân phối Weibull đã được thiết lập để thích hợp với mô hình nhiễu phản xạ radar trong những viễn cảnh môi trường khác nhau. Những xấp xỉ cho sự nhiễu phản xạ như thế có thể được kiểm định qua những nghiên cứu thí nghiệm thông qua những phép thử. Có thể giả định rằng một độ đo nhiễu phản xạ trong một môi trường được đưa ra có một phân phối thống kê đặc biệt. Nếu một xấp xỉ cho các phân phối đó được xác lập thì nó có thể cải thiện được ước lượng của những độ đo hiệu ứng radar chẳng hạn như là những xác suất dò tìm và cảnh báo lỗi. Những xấp xỉ này có thể được ước lượng một cách chính xác bằng phương pháp Stein. Phương pháp này cho phép một cận được xác định trên xấp xỉ phân phối của một biến ngẫu nhiên bởi một biến ngẫu nhiên khác. Phương pháp Stein được trình bày trong trường hợp xấp xỉ Poisson và xấp xỉ Gauss của những biến ngẫu nhiên. Một bước phát triển mới của phương pháp Stein trong việc đo phân bố xấp xỉ của một biến ngẫu nhiên bằng một phân phối mũ được đưa ra. Công việc này có ứng dụng trực tiếp tới một số phân phối liên quan đến radar. Đặc biệt, thời gian dò tìm trong sơ đồ định vị radar có thể được xấp xỉ bởi một phân phối như thế. Những phân phối này thường xuyên được sử dụng trong radar, vì thế những kết quả này có thể được ứng dụng để phân tích hiệu ứng radar.

Mục đích nghiên cứu của luận văn là trình bày phương pháp Stein và định hướng ứng dụng vào một số vấn đề liên quan đến radar ở dạng tổng quát.

Luận văn gồm 6 chương:

Chương 1 giới thiệu phương pháp Stein tổng quát.

Chương 2 nghiên cứu về phương trình Stein cho xấp xỉ Poisson và nghiệm của nó. Cách xây dựng toán tử Stein và toán tử A của Louis Chen. Đặc biệt là giới thiệu phương pháp xấp xỉ địa phương và phương pháp ghép cặp.

Chương 3 nghiên cứu về phương trình Stein cho xấp xỉ Poisson phức hợp và nghiệm của nó. Đánh giá sai số ước lượng.

Chương 4 giới thiệu những kiến thức cơ bản của phương pháp Stein cho xấp xỉ chuẩn, tính chất nghiệm của phương trình Stein, cấu trúc của phương trình đồng nhất Stein, xấp xỉ chuẩn đối với những hàm trơn.

Chương 5 giới thiệu phương pháp Stein cho xấp xỉ mũ

Chương 6 đưa ra định hướng ứng dụng của phương pháp Stein vào một số vấn đề liên quan đến xử lý tín hiệu radar