MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU . 1

1. Lý do chọn đề tài . 1

2. Lịch sử vấn đề . 1

3. Mục đích nghiên cứu . 1

4. Phạm vi nghiên cứu . 2

5. Phương pháp nghiên cứu . 2

PHẦN NỘI DUNG 3

PHẦN I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . 3

1. Độ đo trên một đại số tập hợp 3

1.1. Định nghĩa độ đo 3

1.2. Một số tính chất của độ đo. 4

2. Độ đo Lebesgue trên R 5

3. Hàm số đo được . . 5

3.1. Định nghĩa . 5

3.2. Một số tính chất . 6

3.3. Các phép toán trên hàm số đo được 6

3.4. Khái niệm hầu khắp nơi . 6

3.5. Cấu trúc của hàm đo được 7

3.6. Sự hội tụ theo độ đo . 8

PHẦN II: TÍCH PHÂN LEBESGUE . 9

1. Các định nghĩa tích phân . 9

1.1. Tích phân của hàm đơn giản, không âm . 9

1.2. Tích phân của hàm đo được, không âm 11

1.3. Tích phân của hàm đo được bất kỳ . 12

2. Các tính chất 12

3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân 19

4. Tính liên tục tuyệt đối của tích phân 25

5. Mối quan hệ giữa tích phân Lebesgue và tích phân Riemann . 26

6. Điều kiện khả tích Lebesgue đối với tích phân trên khoảng vô hạn 27

7. Điều kiện khả tích Lebesgue của hàm không bị chặn . 28

PHẦN III: BÀI TẬP 29

PHẦN KẾT LUẬN 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO 58