Mục lục

Lời cảm ìn 2

Lời mở ầu 3

Mục lục 4

1 Thuyết tái tạo 1

1.1 Mục ích . 1

1.2 ịnh nghia chính 2

1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo . 3

1.4 Ph÷ìng trình tái tạo 7

1.5 Sử dụng phép biến ổi Laplace 14

1.5.1 Phép biến ổi Laplace . 14

1.5.2 Phép biến ổi Laplace Stieltjes (L-S) . 16

1.5.3 Một ứng dụng ối với hàm tái tạo . 17

1.6 Ứng dụng của ẳng thức Wald . 18

1.6.1 ẳng thức Wald 18

1.6.2 Chặn d÷ới của hàm tái tạo R . 19

1.7 Dáng iệu tiệm cận của quá trình N(t) . 20

1.8 Các thời iểm hồi quy . 23

1.8.1 ịnh nghia . 23

1.8.2 Hàm phân phối của số lần hồi quy 24

1.8.3 Dáng iệu tiệm cận . 26

1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng . 30

1.10 Dạng số . 35

1.10.1 Ph÷ìng pháp cầu ph÷ìng tổng quát 35

1.10.2 Một vài công thức ặc biệt . 37

1.10.3 Ví dụ thực tế về tai nạn ô tô 39

2 Xích Markov 45

2.1 Tính Markov 45

2.1.1 ịnh nghia tính Markov 45

2.1.2 Các ví dụ 46

2.2 ịnh nghia xích Markov 47

2.3 Phân loại trạng thái xích Markov . 50

2.3.1 Các trạng thái tuần hoàn và không tuần hoàn 50

2.3.2 Các trạng thái ÷ớc l÷ợng và không ÷ớc l÷ợng ÷ợc – Tính tối giản . 50

MỤC LỤC 5

2.3.3 Trạng thái nhất thời và hồi quy 51

2.4 Số lần chiếm giữ 54

2.5 Tính xác suất hấp thu . 55

2.6 Dáng iệu tiệm cận . 56

2.7 Các ví dụ 60

2.8 Một tr÷ờng hợp trong Bảo Hiểm Xã Hội (Janssen (1966)) . 63

2.9 Ph÷ìng pháp số giải bài toán tiệm cận 65

2.9.1 Thuật toán cho nghiên cứu xích Markov tiệm cận 65

2.9.2 Mẫu dữ liệu tối giản thực tế trong Bảo Hiểm xe . 68

2.9.3 Các ví dụ rút gọn ÷ợc và không rút gọn ÷ợc, dạng kết nối chính tắc. 72

3 Quá trình tái tạo Markov, bán Markov và b÷ớc ngẫu nhiên Markov 82

3.1 Quá trình (J-X) d÷ìng . 82

3.2 Xích bán Markov và xích bán Markov mở rộng 83

3.3 Các tính chất chính . 83

3.4 Ví dụ về quá trình yêu cầu bồi th÷ờng trong Bảo Hiểm . 86

3.5 Quá trình tái tạo Markov, quá trình bán-Markov và quá trình ếm liên kết 87

3.6 Các hàm tái tạo Markov 88

3.7 Ph÷ìng trình tái tạo Markov 91

3.8 Dáng iệu tiệm cận của MRP . 92

3.8.1 Dáng iệu tiệm cận của hàm tái tạo Markov 92

3.9 Dáng iệu tiệm cận của SMP . 92

3.9.1 Tr÷ờng hợp tối giản . 92

3.9.2 Tr÷ờng hợp không tối giản . 94

3.10 MRP trì hoãn và MRP dừng 95

3.11 Tr÷ờng hợp nghiên cứu về Bảo Hiểm Xã Hội 98

3.11.1 Mô hình bán Markov . 98

3.11.2 Ví dụ số . 99

3.12 Quá trình (J-X) . 100

3.13 Các hàm của quá trình (J-X) . 101

3.14 Các b÷ớc ngẫu nhiên cổ iển và lý thuyết rủi ro . 103

3.14.1 Các kí hiệu cì bản trong b÷ớc ngẫu nhiên 103

3.14.2 Sự phân loại các b÷ớc ngẫu nhiên 104

3.15 Các b÷ớc ngẫu nhiên bán Markov . 106

3.16 Phân phối cận trên úng cho các b÷ớc ngẫu nhiên bán Markov . 107

4 Các Mô Hình Rủi Ro Trong Bảo Hiểm 109

4.1 Mô hình ngẫu nhiên cổ iển cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản . 109

4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G 110

4.2.1 Mô hình . 110

4.2.2 Phí Bảo Hiểm 110

4.2.3 Ba quá trình cì bản 112

4.2.4 Xác suất phá sản 113

4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G . 115

4.3.1 Mô hình . 115

4.3.2 Xác suất phá sản 115

4.3.3 Quản lí rủi ro bằng xác suất phá sản . 120

4.3.4 ×ớc l÷ợng Cramer . 121

MỤC LỤC 6

4.4 Các mô hình khuyếch tán cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản 123

4.4.1 Mô hình rủi ro khuyếch tán ìn giản . 123

4.4.2 Mô hình rủi ro ALM 124

4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov 125

4.5.1 Mô hình rủi ro bán Markov (hay SMRM) . 125

4.5.2 Mô hình rủi ro bán Markov tổng quát (hay GSMRM) 125

4.5.3 Quá trình ếm số yêu cầu bồi th÷ờng . 128

4.5.4 Quá trình tiền Bảo Hiểm tích luy . 130

4.5.5 Quá trình tiền óng Bảo Hiểm . 131

4.5.6 Quá trình rủi ro và rủi ro của vốn dự trữ . 131

4.5.7 Mô hình rủi ro bán-Markov dừng . 132

4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát 132

4.6.1 Xác suất phá sản và không phá sản 132

4.6.2 Sự thay ổi mức phí Bảo Hiểm 133

4.6.3 Giải pháp tổng quát cho vấn ề tiệm cận xác suất rủi ro 134

Kết luận 137

Tài liệu tham khảo 13