MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆm NGUYÊN

Trong chương trình toán THCS và THPT thì phương trình nghiệm nguyên vẫn luôn là một đề tài hay và khó đối với học sinh .

Các bài toán nghiệm nguyên thường xuyên có mặt tại các kì thi lớn , nhỏ , trong và ngoài nước .

Trong bài viết này tôi chỉ muốn đề cập đến các vấn đề cơ bản của nghiệm nguyên ( các dạng ; các phương pháp giải ) chứ không đi sâu ( vì vốn hiểu biết có hạn ). Tôi cũng sẽ không nói về phương trình Pell ( vì nó có nhiều trong các sách ) và phương trình Pythagore ; Fermat ( cũng có nhiều trong sách ; khái niệm rất đơn giản )

Chú ý : các bạn có thể tìm đọc thêm cuốn “ phương trình và bài toán nghiệm nguyên “ của thầy Vũ Hữu Bình .

Phương Pháp 1 Áp Dụng Tính Chia Hết

Dạng 1 :phương trình dạng

Ví dụ 1:: giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải:

Có thể dễ dàng thấy chẵn . Đặt .

Phương trình trở thành :

Từ đó ta có nghiệm phương trình này :

Chú ý : Ta còn có cách thứ để tìm nghiệm của phương trình trên . Đó là phương pháp tìm nghiệm riêng để giải phương trình bậc nhất ẩn

Ta dựa vào định lí sau :

Nếu phương trình với có tập nghiệm là thì mọi nghiệm của phương trình nhận từ công thức :

Định lí này chứng minh không khó ( bằng cách thế trực tiếp vào phương trình )

Dựa vào định lý này ; ta chỉ cần tìm nghiệm riêng của phương trình .

Đối với các phương trình có hệ số nhỏ thì việc tìm nghiệm khá đơn giản nhưng với các phương trình có lớn thì không dễ dàng chút nào . Do đó ta phải dùng đến thuật toán ơ cơ lit ( các bạn có thể tìm đọc các sách ; tôi sẽ không nói nhiều về thuật toán này ) . Ngoài ra còn có thêm phương pháp hàm Euler .

Dạng 2 : Đưa về phương trình ước số :

Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải :

Lập bảng dễ dàng tìm được nghiệm phương trình trên .

Ví dụ 3:Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải :

là số chưa biết ; sẽ đc xác định sau .

Xét phương trình :

Chọn

Từ đó ta có phương trình ước số :

Dạng 3:Phương pháp tách các giá trị nguyên

Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải :

Phương Pháp 2 : Phương Pháp Lựa Chọn Modulo ( hay còn gọi là xét số dư từng vế )

Trước tiên ta có các tính chất cơ bản sau :

số chính phương chia dư ; chia dư ; chia dư

Ví Dụ 5 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải:

Còn

Do đó phương trình trên vô nghiệm.

Có thể mở rộng thêm cho nhiều modulo như và mở rộng cho số lập phương ; tứ phương ; ngũ phương.......

Ta đến với Ví Dụ sau :

Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :

Giải:

Dễ thấy

Mặt khác :

chẵn thì ; lẻ thì

Còn ( vô lí)

Do đó phương trình trên vô nghiệm.

Chú ý : Nhiều bài toán nghiệm nguyên trong đề thi vô địch toán các nước đôi khi phải xét đến modulo khác lớn ; ta xét đến ví dụ sau :

Ví Dụ 7 :(Balkan1998) Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải:

( vô lí)

Do đó phương trình này vô nghiệm.

Chỉ dòng ; thật ngắn gọn và đẹp phải không nào.

Nói chung để xét modulo hiệu quả còn phải tùy thuộc vào sự nhạy bén của người làm toán.

Nói thêm :

Đối với các phương trình nghiệm nguyên có sự tham gia của các số lập phương thì modulo thường dùng là vì ( hãy tự chứng minh )

Ta xét Ví Dụ sau .

Ví Dụ 8 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Dựa vào nhận xét trên :

Còn ( vô lí).

Do đó phương trình trên vô nghiệm .

Phương Pháp 3 : Dùng Bất Đẳng Thức

Dạng 1 : Đối với các phương trình mà các biến có vai trò như nhau thì người ta thường dùng phương pháp sắp xếp thứ tự các biến .

Ví Dụ 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :

Giải : Không mất tính tổng quát có thể giả sử

Nghiệm phương trình là

Dạng 2 : Đối với các phương trình nghịch đảo các biến ta cũng có thể dùng phương pháp này ( nếu vai trò các biến cũng như nhau )

Cách giải khác dành cho Ví Dụ 9:

Chia vế phương trình trên cho ta đc :

Giải:

Không mất tính tổng quát có thể giả sử

và .

Ta xét đến Ví Dụ tiếp theo để thấy sự hiệu quả của phương pháp này

Ví Dụ 10 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :

Giải:

Không mất tính tổng quát có thể giả sử

. Lần lượt thử :

phương trình vô nghiệm nguyên

Xét

Mặc khác

. Ta thử lần lượt.

phương trình vô nghiệm nguyên

Xét

Mặc khác

.

Vậy nghiệm phương trình là và các hoán vị.

Dạng 3 : Áp Dụng Các Bất Đẳng Thức Cổ Điển.

Ví Dụ 11 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :

Giải:

Áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số ; ta đc

Dấu xảy ra

Từ phương trình

( phương trình ước số ; dễ dàng tìm đc rồi tìm ra )

Đáp số : nghiệm phương trình là

Ghi chú : Việc Áp Dụng BDT vào bài toán nghiệm nguyên rất ít dùng vì ẩn ý dùng BDT rất dễ bị "lộ" nếu người ra đề không khéo léo. Tuy nhiên cũng có vài trường hợp dùng BDT khá hay .

Ta đến với Ví Dụ sau.