2

Mục lục

Trang

Trang phụ bìa 1

Mục lục 2

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt 3

Lời nói đầu 4

Chương1. Các kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi 5

1.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2. Tính liên tục của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3. Các phép toán bảo toàn tính lồi . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.4. Bất đẳng thức lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.5. Hàm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Chương2. Dưới vi phân của hàm lồi 18

2.1. Đạo hàm theo phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Dưới vi phân và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1. Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2. Tính khả vi của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.3. Tính đơn điệu của dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.4. Tính liên tục của dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.5. Phép tính với dưới đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3. Dưới vi phân xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Chương3. Một số ứng dụng của dưới vi phân trong tối ưu hoá 52

3.1. Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2. Bài toán lồi không có rằng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3. Bài toán lồi với rằng buộc đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4. Bài toán lồi với rằng buộc bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . 54

Kết luận 63

Tài liệu tham khảo 64