3

Mở đầu

Cho (R, m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy

nhất m; M là R-môđun hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin. Như chúng ta

đã biết, các khái niệm phân tích nguyên sơ, chiều Krull là những khái niệm

cơ bản của Hình học đại số và Đại số giao hoán mà thông qua đó người ta có

thể nói lên cấu trúc của các đa tạp đại số hoặc cấu trúc của các vành Noether

và các môđun hữu hạn sinh trên chúng. Chiều Krull của một môđun hữu hạn

sinh M, ký hiệu dim M, được định nghĩa là chiều Krull của vành R/ Ann M

và ta có định lý cơ bản của lý thuyết chiều như sau

d(M) = dim M = d(M),

trong đó d(M) là số nguyên t nhỏ nhất sao cho tồn tại một dãy các phần tử

a , . . . , a ? m để độ dài của môđun M/(a , . . . , a )M là hữu hạn và d(M)

1 t 1 t

là bậc của đa thức Hilbert PM,I (n) ứng với iđêan định nghĩa I.

Khái niệm đối ngẫu với chiều Krull cho một môđun Artin được giới thiệu

bởi R. N. Robert và sau đó D. Kirby đổi tên thành chiều Noether,

ký hiệu là N-dim để tránh nhầm lẫn với chiều Krull đã được định nghĩa cho

các môđun Noether. Một số kết quả mà theo một nghĩa nào đó được xem là

đối ngẫu với các kết quả về chiều Krull cho môđun hữu hạn sinh đã được

đưa ra. Đặc biệt, R. N. Roberts đã chứng minh một kết quả về tính hữu

hạn của chiều Noether và mối liên hệ giữa chiều Noether với bậc của đa thức

Hilbert của môđun Artin trên vành giao hoán, Noether, sau đó D. Kirby

và N. T . Cường - L. T. Nhàn đã mở rộng kết quả trên của Roberts cho

vành giao hoán bất kỳ

n

N-dim A = deg(R (0 :A m ))

= inf{t 0 : ?a , . . . , a ? m : (0 : (a , . . . , a )R) < 8}.

1 t R A 1 t

Từ kết quả trên, một cách tự nhiên có thể định nghĩa các khái niệm hệ tham

số, hệ bội cho môđun Artin thông qua chiều Noether.

4

Tiếp theo, nhiều tác giả cũng đã dùng chiều Noether để nghiên cứu cấu

trúc của môđun Artin (xem , , ,...). Đặc biệt, tác giả N. T. Cường và

L. T. Nhàn đã có những nghiên cứu sâu hơn về chiều Noether, quan tâm

đặc biệt tới chiều Noether của môđun đối đồng điều địa phương khi chúng là

Artin và đã đạt được một số kết quả thú vị, chứng tỏ khái niệm chiều Noether

theo một nghĩa nào đó là phù hợp với môđun đối đồng điều địa phương.

Tương tự như chiều Krull của môđun hữu hạn sinh, một cách tự nhiên, đối

với mỗi môđun Artin A, chiều Krull dimR A cũng được hiểu là chiều Krull

của vành R/ AnnR A. Một kết quả quan trọng trong là nghiên cứu mối

quan hệ giữa chiều Noether và chiều Krull của môđun Artin trong trường hợp

tổng quát: N-dimR A dimR A, hơn nữa chỉ ra những trường hợp xảy ra

N-dimR A < dimR A. Đặc biệt, kết quả khá bất ngờ trong cho ta điều

kiện đủ để khi nào chiều Noether của một môđun Artin bằng chiều Krull của

nó là

AnnR (0 :A p) = p,?p ? V (AnnR A). (*)

Cần chú ý rằng đối với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M, theo Bổ đề Nakayama,

ta luôn có tính chất AnnR M/pM = p, với mọi iđêan nguyên tố p chứa

AnnR M. Rõ ràng rằng, khi vành R là đầy đủ thì với mỗi R-môđun Artin

A, theo đối ngẫu Matlis, ta có luôn có AnnR (0 :A p) = p, với mọi iđêan

nguyên tố p chứa AnnR A, tuy nhiên trên vành giao hoán bất kỳ, không phải

mọi môđun Artin A đều thỏa mãn điều kiện (*). Một điều thú vị nữa là nhờ

điều kiện (*), ta có thể đặc trưng được tính catenary của giá không trộn lẫn

UsuppR M của môđun M thông qua môđun đối đồng điều địa phương cấp

cao nhất Hd (M) (xem ); tính không trộn lẫn và tính catenary phổ dụng

m

của các môđun đối đồng điều địa phương Hi (M) (xem ).

m

Mục đích của luận văn là trình bày lại và chứng minh chi tiết các kết quả

đã giới thiệu ở trên trong bài báo của N. T. Cường - L. T. Nhàn (2002) và

một phần kết quả của các bài báo của R. N. Roberts (1975); D. Kirby (1990)

5

và N. T. Cường - L. T. Nhàn (1999). Luận văn được chia làm 3 chương, các

kiến thức cần thiết liên quan đến nội dung của luận văn được nhắc lại xen kẽ

trong các chương.

Chương 1 giới thiệu khái niệm chiều Noether và chứng minh một số kết

quả về chiều Noether của môđun Artin, đặc biệt là chứng minh tính hữu hạn

của chiều Noether và mối liên hệ giữa chiều Noether với bậc của đa thức

Hilbert của một môđun Artin.

Chương 2 dành để chứng minh lại các kết quả về chiều Noether của các

môđun đối đồng điều địa phương của một R-môđun hữu hạn sinh khi chúng là

Artin; mối quan hệ giữa chiều Noether của môđun đối đồng điều địa phương

thứ i với chỉ số i và chiều Noether của môđun đối đồng điều địa phương cấp

cao nhất với chiều Krull của môđun hữu hạn sinh ban đầu.

Chương 3 trình bày mối quan hệ giữa chiều Noether và chiều Krull của

môđun Artin trong trường hợp tổng quát: N-dimR A dimR A; chỉ ra những

trường hợp xảy ra dấu nhỏ hơn thực sự và điều kiện đủ để khi nào chiều

Noether của một môđun Artin bằng chiều Krull của nó.

Phần kết luận của luận văn tổng kết lại toàn bộ các kết quả đã đạt được.