[FONT=Times New Roman]Mở đầu

Cho

nhất

(R, m) lμ vμnh giao ho ̧n, địa phương, Noether với iđaan cực đ1i duy

m; M

lμ

R-môđun hữu h1n sinh vμ A lμ R-môđun Artin. Như chúng ta

đã biết, c ̧c kh ̧i niệm phân tích nguyan sơ, chiều Krull lμ những kh ̧i niệm

cơ bản của Hình học đ1i số vμ Đ1i số giao ho ̧n mμ thông qua đó người ta có

thể nói lan cấu trúc của c ̧c đa t1p đ1i số hoặc cấu trúc của c ̧c vμnh Noether

vμ c ̧c môđun hữu h1n sinh tran chúng. Chiều Krull của một môđun hữu h1n

sinh M , ký hiệu dim M , được định nghĩa lμ chiều Krull của vμnh R/ Ann M

vμ ta có định lý cơ bản của lý thuyết chiều như sau

δ(M ) = dim M = d(M ),

trong đó

δ(M ) lμ số nguyan t nhỏ nhất sao cho tồn t1i một dãy c ̧c phần tử

a1 , . . . , at ∈ m để độ dμi của môđun M/(a1 , . . . , at )M

lμ bậc của đa thức Hilbert

lμ hữu h1n vμ

d(M )

PM,I (n) ứng với iđaan định nghĩa I .

Kh ̧i niệm đối ngẫu với chiều Krull cho một môđun Artin được giới thiệu

bởi R. N. Robert vμ sau đó D. Kirby đổi tan thμnh chiều Noether,

ký hiệu lμ

N-dim để tr ̧nh nhầm lẫn với chiều Krull đã được định nghĩa cho

c ̧c môđun Noether. Một số kết quả mμ theo một nghĩa nμo đó được xem lμ

đối ngẫu với c ̧c kết quả về chiều Krull cho môđun hữu h1n sinh đã được

đưa ra. Đặc biệt, R. N. Roberts đã chứng minh một kết quả về tính hữu

h1n của chiều Noether vμ mối lian hệ giữa chiều Noether với bậc của đa thức

Hilbert của môđun Artin tran vμnh giao ho ̧n, Noether, sau đó D. Kirby

vμ N. T . Cường - L. T. Nhμn đã mở rộng kết quả tran của Roberts cho

vμnh giao ho ̧n bất kỳ

N-dim A = deg( R (0 :A mn ))

= inf{t

0 : ∃a1 , . . . , at ∈ m :

R (0 :A

(a1 , . . . , at )R) < ∞}.

Từ kết quả tran, một c ̧ch tự nhian có thể định nghĩa c ̧c kh ̧i niệm hệ tham

số, hệ bội cho môđun Artin thông qua chiều Noether.

4

Tiếp theo, nhiều t ̧c giả cũng đã dùng chiều Noether để nghian cứu cấu

trúc của môđun Artin (xem , , ,...). Đặc biệt, t ̧c giả N. T. Cường vμ

L. T. Nhμn đã có những nghian cứu sâu hơn về chiều Noether, quan tâm

đặc biệt tới chiều Noether của môđun đối đồng điều địa phương khi chúng lμ

Artin vμ đã đ1t được một số kết quả thú vị, chứng tỏ kh ̧i niệm chiều Noether

theo một nghĩa nμo đó lμ phù hợp với môđun đối đồng điều địa phương.

Tương tự như chiều Krull của môđun hữu h1n sinh, một c ̧ch tự nhian, đối

với mỗi môđun Artin

của vμnh

A,

R/ AnnR A.

chiều Krull

dimR A

cũng được hiểu lμ chiều Krull

Một kết quả quan trọng trong lμ nghian cứu mối

Quan hệ giữa chiều Noether vμ chiều Krull của môđun Artin trong trường hợp

tổng qu ̧t:

N-dimR A

N-dimR A < dimR A.

dimR A,

hơn nữa chỉ ra những trường hợp xảy ra

Đặc biệt, kết quả kh ̧ bất ngờ trong cho ta điều

kiện đủ để khi nμo chiều Noether của một môđun Artin bằng chiều Krull của

nó lμ

AnnR (0 :A p) = p, ∀p ∈ V (AnnR A).

(∗)

Cần chú ý rằng đối với mỗi R-môđun hữu h1n sinh M , theo Bổ đề Nakayama,

ta luôn có tính chất

AnnR M .

A,

AnnR M/pM = p,

Rõ rμng rằng, khi vμnh

R

lμ đầy đủ thì với mỗi

theo đối ngẫu Matlis, ta có luôn có

nguyan tố

(∗),

UsuppR M

cao nhất

p chứa

R-môđun Artin

AnnR (0 :A p) = p,

với mọi iđaan

p chứa AnnR A, tuy nhian tran vμnh giao ho ̧n bất kỳ, không phải

mọi môđun Artin

điều kiện

với mọi iđaan nguyan tố

A đều thỏa mãn điều kiện (*).

Một điều thú vị nữa lμ nhờ

ta có thể đặc trưng được tính catenary của gi ̧ không trộn lẫn

của môđun

d

Hm (M )

M

thông qua môđun đối đồng điều địa phương cấp

(xem ); tính không trộn lẫn vμ tính catenary phổ dụng

của c ̧c môđun đối đồng điều địa phương

i

Hm (M ) (xem ).

Mục đích của luận v ̈n lμ trình bμy l1i vμ chứng minh chi tiết c ̧c kết quả

đã giới thiệu ở tran trong bμi b ̧o của N. T. Cường - L. T. Nhμn (2002) vμ

một phần kết quả của c ̧c bμi b ̧o của R. N. Roberts (1975); D. Kirby (1990)

5

vμ N. T. Cường - L. T. Nhμn (1999). Luận v ̈n được chia lμm 3 chương, c ̧c

kiến thức cần thiết lian quan đến nội dung của luận v ̈n được nh3⁄4c l1i xen kẽ

trong c ̧c chương.

Chương1

giới thiệu kh ̧i niệm chiều Noether vμ chứng minh một số kết

quả về chiều Noether của môđun Artin, đặc biệt lμ chứng minh tính hữu h1n

của chiều Noether vμ mối lian hệ giữa chiều Noether với bậc của đa thức

Hilbert của một môđun Artin.

Chương2

dμnh để chứng minh l1i c ̧c kết quả về chiều Noether của c ̧c

môđun đối đồng điều địa phương của một R-môđun hữu h1n sinh khi chúng lμ

Artin; mối Quan hệ giữa chiều Noether của môđun đối đồng điều địa phương

thứ

i với chỉ số i vμ chiều Noether của môđun đối đồng điều địa phương cấp

cao nhất với chiều Krull của môđun hữu h1n sinh ban đầu.

Chương3

trình bμy mối Quan hệ giữa chiều Noether vμ chiều Krull của

môđun Artin trong trường hợp tổng qu ̧t:

N-dimR A

dimR A; chỉ ra những

trường hợp xảy ra dấu nhỏ hơn thực sự vμ điều kiện đủ để khi nμo chiều

Noether của một môđun Artin bằng chiều Krull của nó.

Phần kết luận của luận v ̈n tổng kết l1i toμn bộ c ̧c kết quả đã đ1t được.