LỜI CẢM ƠN

Em xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, trường ĐHSP Hà Nội 2, các thầy cô giáo tổ Đại số đã tạo điều kiện thuận lợi để giúp em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này.

Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo hướng dẫn: Thạc sĩ Phạm Lương Bằng đã quan tâm hướng dẫn và chỉnh sửa khoá luận cho em.

Mặc dù đã cố gắng nhưng bản thân em mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em hi vọng sẽ nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô và các bạn để khoá luận của em hoàn chỉnh hơn.

Sinh viên

Nguyễn Thị Phương

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan:

Khoá luận tốt nghiệp là kết quả của sự lỗ lực tự bản thân tôi và sự hướng dẫn của thầy giáo hướng dẫn: Thạc sĩ Phạm Lương Bằng.

Nội dung khoá luận không trùng lặp với công trình nghiên cứu của các tác giả trước đã công bố.

Sinh viên

Nguyễn Thị Phương

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: LÍ THUYẾT CHUNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 3

1.1 SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 3

1.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 6

1.2.1. Bất đẳng thức AM-GM 6

1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz – Holder 9

1.2.2.1 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz : 9

1.2.2.2 Bất đẳng thức Holder: 12

1.2.3 Bất đẳng thức Chebyshev 14

1.2.4. Bất đẳng thức Jensen 17

1.2.5 Bất đẳng thức Schur 18

CHƯƠNG 2 22

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 22

2.1 BẤT ĐẲNG THỨC CỦA CÁC DÃY SỐ ĐỒNG THỨ TỰ 22

2.2 LỚP HÀM ĐỐI XỨNG SƠ CẤP BA BIẾN 25

2.3 MỘT SỐ TIÊU CHUẨN VỀ S.O.S 29

2.4 HAI DẠNG CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 33

2.4.1 Bất đẳng thức dạng thuần nhất bậc 33

2.4.2 Đồng bậc hoá bất đẳng thức 36

2.4.3 Bất đẳng thức đối xứng ba biến thuần nhất không có điều kiện 39

2.4.4 Bất đẳng thức đối xứng ba biến thuần nhất có điều kiện 44

CHƯƠNG 3: HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 50

3.1. HỆ THỐNG BÀI TẬP 50

3.2. HƯỚNG DẪN GIẢI 53

KẾT LUẬN 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

LỜI MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong kỷ nguyên công nghệ thông tin, sự biến đổi các ngành trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên hay khoa học xã hội luôn diễn ra với tốc độ chóng mặt. Nhờ internet và các phương tiện truyền thông mà các quốc gia đã xích lại gần nhau trong một thế giới hội nhập toàn cầu hoá. Ở một phạm vi hẹp chúng ta có thể thấy sự phát triển của các webside Toán học đã làm cho những người đam mê Toán học trên thế giới có thể dễ dàng nhanh chóng tiếp cận và trao đổi thông tin vô cùng phong phú. Một điều mà mọi người dễ thống nhất với nhau là bất đẳng thức luôn chiếm vị trí quan trọng đối với toán học phổ thông cũng như trên các webside Toán học.

Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển của Toán học sơ cấp đang ngày càng phát triển, đây cũng là một trong những phần toán sơ cấp đẹp và thú vị nhất, vì thế luôn cuốn hút rất nhiều đối tượng bạn đọc quan tâm. Điểm đặc biệt, ấn tượng nhất của bất đẳng thức trong toán sơ cấp, đó là có rất nhiều những bài toán khó, thậm chí là rất khó, luôn có thể giải được bằng những kiến thức rất cơ sở và việc hoàn thành được chứng minh là niềm vui thực sự.

Bất đẳng thức đối xứng là một trong các phần quan trọng nhất của bất đẳng thức sơ cấp, cũng là dạng bài quen thuộc trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. Đây là dạng bất đẳng thức rất được yêu thích không chỉ với các bạn đã thành thạo mà còn hấp dẫn với cả những bạn mới bắt đầu.

Xuất phát từ cơ sở lí luận và thực tiễn đó mà em đã quyết định chọn đề tài: “Một số vấn đề về bất đẳng thức đối xứng ba biến” làm đề tài nghiên cứu cho mình