MỘT VÍ DỤ VỀ TẬP COMPACT KHÔNG LỒI CÓ TÍNH

CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG.

AN EXAMPLE FOR THE FIXED POINT PROPERTY OF NON-CONVEX SET.

SVTH: ĐOÀN THỊ NGỌC CẢNH

Lớp: 05TT, Trường Đại Học Sư Phạm

GVHD: Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Khoa Toán, Trường Đại Học sư Phạm

TÓM TẮT.

Mục tiêu của đề tài là chỉ ra một tập compact không lồi trong là một không gian điểm bất

động.

ABSTRACT.

The aim of this topic is to show an example for the fixed point property of non-convex compact

set in .

1. Mở đầu.

Cho X là không gian topo, X được gọi là có tính chất điểm bất động hay X là không gian

điểm bất động nếu mỗi ánh xạ liên tục từ X vào X đều có một phần tử x X sao cho f(x)=x .

Năm 1912, Brouwer đã chứng minh định lí: Mỗi quả cầu đơn vị đóng trong đều có tính

chất điểm bất động.

Năm 1935, Schauder chỉ ra rằng kết quả của Brouwer có thể mở rộng được như sau

Định lí (Schauder). Mỗi tập lồi compact trong không gian metric tuyến tính lồi địa phương

đều có tính chất điểm bất động.

Theo định lí Schauder ta có

Định lí. Mỗi tập lồi compact trong không gian định chuẩn đều là không gian điểm bất động.

Mục đích của đề tài này là chỉ ra một ví dụ cho thấy rằng có tập compact không lồi trong

không gian định chuẩn là không gian điểm bất động.

2. Kiến thức chuẩn bị.

Định nghĩa 2.1. X là không gian topo, A X. Ánh xạ f:A X liên tục .x A gọi là điểm bất

động của f nếu f(x)=x.Tập tất cả các điểm bất động của f kí hiệu là Fix(f).

Định nghĩa 2.2. X là không gian topo, X là không gian điểm bất động hay có tính chất điểm

bất động nếu mọi ánh xạ liên tục f:X X đều có điểm bất động.

Định lý 2.1. Cho X là không gian điểm bất động , Y là không gian đồng phôi với X thì Y cũng

à không gian điểm bất động.

Định nghĩa 2.3. X là không gian topo, là lớp các ánh xạ liên tục f:X X. Nếu mỗi ánh xạ

huộc đều có điểm bất động thì X được gọi là không gian điểm bất động đối với lớp .

Định nghĩa 2.4. ( ánh xạ compact). X, Y là không gian topo, ánh xạ liên tục f:X Y là ánh

xạ compact nếu là tập compact trong Y.

Định nghĩa 2.5. X là không gian topo, A X. Một ánh xạ liên tục r:X A được gọi là một

phép co rút nếu a A thì r(a)=a và A được gọi là co rút của X (tồn tại một phép co rút từ X

vào A).

Mệnh đề 2.1. Cho X là không gian topo Hausdorff, A là một co rút của X thì A đóng trong X