Lời nói đầu

Nhóm các phép quay SO(3) xuất hiện nhiều trong các lĩnh vực khác

nhau của toán học do đó nó là một đối tượng kinh điển đã được nghiên cứu

bởi nhiều nhà toán học. Đối tượng được trình bày trong luận văn là nhóm

con của nhóm SO(3) sinh bởi hai phép quay có bậc hữu hạn quanh các trục

vuông góc.

Nhóm các phép quay này được quan tâm nghiên cứu do nó có ứng dụng

trong lí thuyết Tilings, một lí thuyết nghiên cứu quá trình phủ không gian

bằng các bản copy của một số hữu hạn các hình đa diện cho trước. Tuy nhiên

trong khuôn khổ của một luận văn Cao học, chúng tôi chỉ tập trung tìm hiểu

kết quả đại số thuần tuý mà không trình bày được lí thuyết Tilings.

Bài toán đại số nghiên cứu trong luận văn là tìm hiểu cấu trúc đại số của

các nhóm con sinh bởi hai phép quay quanh hai trục vuông góc với

các góc quay lần lượt là và . Chúng ta nghiên cứu nhóm con này

với chú ý là ta đã có một số kết quả bước đầu như sau: Nếu hoặc bằng 1,

là nhóm Cyclic hữu hạn; nếu hoặc bằng 2, là nhóm nhị

diện hữu hạn; là nhóm đối xứng của các hình lập phương; còn tất

cả các trường hợp khác là trù mật trong SO(3). Luận văn được trình

bày theo bài báo của hai tác giả C.radin và L.Sadun (năm 1998). Kết quả

chính đầu tiên của luận văn chính là định lí cấu trúc (Định lí 2.1.2), chỉ ra

rằng nhóm đẳng cấu với tích tự do và tích tự do với nhóm con chung

của các nhóm đơn giản là nhóm cyclic hay nhóm nhị diện. Kết quả tiếp theo

là định lí về dạng chuẩn tắc của các phần tử nói rằng mọi phần tử của nhóm

đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tích của một số

phần tử có dạng cụ thể (Xem định lí 2.2.1 và 2.2.6). Ngoài ra trong phần

cuối luận văn còn nghiên cứu một ví dụ về nhóm con của nhóm SO(3) sinh

bởi hai phép quay với các góc quay là tích của với một số vô tỉ hay siêu

việt. Bằng cách sử dụng kĩ thuật như phần đầu, luận văn chứng minh được

một số trường hợp nhóm trong ví dụ là đẳng cấu với nhóm tự do sinh bởi hai

phần tử. Luận văn gồm 3 chương.

Chương 1 dành để giới thiệu các khái niệm, các tính chất đặc trưng và

các ví dụ minh họa về phép quay và ma trận phép quay; nhóm tự do; tích tự

do; tích tự do với nhóm con chung nhằm phục vụ cho chương sau.

Chương 2 là chương trình bày những nội dung chính của luận văn gồm

hai phần. Phần 1 trình bày biểu diễn cho nhóm . Phần 2 trình bày

dạng chính tắc cho mỗi phần tử của nhóm .

Chương 3 trình bày thêm một ví dụ nghiên cứu về nhóm các phép quay

trong đó có góc quay là một số vô tỉ cho trước nhân với . Sau đó

trình bày ví dụ nghiên cứu bước đầu về nhóm với (tương đương

) là siêu việt.

Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của Thầy Ts. Vũ

Thế Khôi. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy.

Tôi xin trân trọng cám ơn ban lãnh đạo khoa toán ĐHSP Thái Nguyên,

khoa sau đại học ĐHSP Thái Nguyên, cám ơn các thầy cô giáo đã trang bị

cho tôi kiến thức cơ sở.

Tôi xin trân trọng cám ơn ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp trường

THPT chuyên Hà Giang, xin trận trọng cám ơn những người thân, bạn bè và

lớp cao học toán K14 đã động viên giúp đỡ tôi trong qua trình hoàn thành

luận văn.

5

4