CẤP CỦA CÁC PHẦN TỬ

VÀ CÁC LỚP LIÊN HỢP CỦA NHÓM DIHEDRAL

THE ORDER OF ALL ELEMENTS AND

CONJUGACY CLASSES OF DIHEDRAL GROUP

SVTH: NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

Lớp: 05TT, Trường Đại Học Sư Phạm

GVHD: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm

TÓM TẮT

Mục đích của đề tài là xác định cấp của các phần tử và các lớp liên hợp của nhóm Dihedral.

ABSTRACT

The aim of this topic is to determine the order of all elements and conjugacy classes of

Dihedral group.

1. Mở đầu.

Xét đa giác đều n cạnh Pn với n > 2. Gọi a là phép quay mặt phẳng xung quanh tâm của

Pn một góc bằng 2



/n , còn b là phép đối xứng qua một đường thẳng đi qua tâm của Pn và một

đỉnh của nó. Khi đó, tất cả các phép đối xứ ng của Pn ( tức là các phép biến đổi đẳng cự của

mặt phẳng biến Pn thành chính nó ) được liệt kê như sau:

e, a, a

2

, , a

n-1

, b, ab, a

2

b, , a

n-1

b.

Các phép đối xứng này lập thành một nhóm với phép toán hợp thành ( hay là tích ) của hai

phép đối xứng, ký hiệu Dn , và được gọi là nhóm Dihedral.

2. Cấp của các phần tử và các lớp liên hợp của nhóm Dihedral.

2.1 Quan hệ liên hợp trong một nhóm.

2.1.1. Định nghĩa.

Cho nhóm G và a, x thuộc G. Phần tử x-1

a x



G, ký hiệu a

x

, được gọi là liên hợp

với a bởi phần tử x.

Trong nhóm G ta xác định một quan hệ hai ngôi R như sau:

a, b



G, a R b nếu



x



G sao cho b = a

x

.

2.1.2 Mệnh đề.

Quan hệ R được xác định như trên là một quan hệ tương đương trên nhóm G, và còn

gọi là quan hệ liên hợp.

2.1.3 Cấp của một phần tử trong một nhóm.

Giả sử a là một phần tử bất kỳ của nhóm X và A là nhóm con sinh bởi a. Phần tử a

có cấp vô hạn nếu A vô hạn, trong trường hợp này không có một số nguyên dương n nào

sao cho an

= e. Phần tử a có cấp m nếu A có cấp m, với m là số nguyên dương bé nhất

sao cho am = e. Ta ký hiệu cấp của phần tử a là ord ( a ). Nếu ord (a) = m, thì < a > = { a

0

=

1, a

1

, a

2

, ,a

m-1

}, và ta còn viết < a/ a

m = 1 > , a



X,

Ord ( a ) = 1 khi và chỉ khi a = e.

2.1.4 Mệnh đề.

Cho nhóm G. Với quan hệ liên hợp trên G , ta c