Vấn đề tìm các tập xác dịnh duy nhất hàm trên trờng đặc số dơng là

một trong những vấn đề mới của lý thuyết số. Cho đến nay mới chỉ có rất

ít công trình theo hớng nghiên cứu này. Luận văn có mục đích giới thiệu

những kết quả mới nhất nhằm tìm ra những cách tiếp cận sâu hơn. Nội dung

nghiên cứu bao gồm:

-Trình bày bài toán đặt ra trên trờng đặc số dương,

-Xây dựng một số tập xác định duy nhất các hàm nguyên trên trường đặc

số dơng,

-Tính toán một số ví dụ cụ thể.

Trong quá trình nghiên cứu nhân tử hoá của hàm phân hình ( trong mặt

phẳng phức ), F. Gross , năm 1976, đã đa ra khái niệm tập xác định

duy nhất. Cung cấp những ví dụ về tập xác định duy nhất các hàm nguyên

phức (khác hằng) đã trở thành chủ đề của một số bài báo gần đây. Lý thuyết

Nevanlinna đã trở thành công cụ chính đợc sử dụng để xây dựng những ví

dụ đó.

Boutabaa, Escassut và Haddad đã nghiên cứu tập xác định duy nhất

cho các hàm nguyên phi Archimed (trong trờng đặc số 0) và nếu thu hẹp

để nghiên cứu các đa thức, thì có một sự biểu thị đẹp về mặt hình học cho

tập xác định duy nhất hữu hạn.

Định lý A (Boutabaa, Escassut và Haddad ). Cho K là trờng có đặc

số 0. Cho F là họ những đa thức khác hằng với hệ số trên K. Khi đó, một

tập hữu hạn S trong K là tập xác định duy nhất cho F nếu và chỉ nếu S là

cứng affine.

2

Số húa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

Cherry và Yang , năm 1999, đã mở rộng định lý này cho trường hợp

những hàm nguyên phi Archimed khác hằng một biến trên trường đặc số 0,

đầy đủ tương ứng với một giá trị tuyệt đối phi Archimed.

Trong suốt luận văn, K sẽ luôn là một trờng đầy đủ tương với một giá

trị tuyệt đối phi Archimed. ''Tập xác định duy nhất'' luôn có nghĩa là tập xác

định duy nhất kể cả bội của họ A∗(K ) những hàm nguyên phi Archimed

khác hằng trên K . Ta có thể coi các đa thức trên trường bất kỳ là trờng

hợp đặc biệt của các hàm nguyên phi Archimed một biến trên K . Do đó,

khi phát biểu bài toán nào cho họ các hàm nguyên phi Archimed, mệnh đề

đó cũng đúng với các đa thức. Voloch đã cho một chứng minh thuần tuý

''đại số - hình học''của định lý (Boutabaa, Escassut và Haddad ) và làm

rõ rằng định lý cũng đúng trong trờng đặc số dơng cho những tập có lực

lợng nguyên tố với n. Nghĩa là,

Định lý B (Định lý của Voloch ). Cho K có đặc số p ≥ 0 và đầy đủ

tương ứng với một giá trị tuyệt đối phi Achimed. Cho A∗(K ) là họ những

hàm nguyên phi Archimed khác hằng trên K. Cho S là một tập có lực lượng

hữu hạn n, giả sử nguyên tố với p nếu p > 0. Khi đó, S là tập xác định duy

nhất của họ A∗(K ) nếu và chỉ nếu S là cứng affine.

Vậy, điều gì sẽ xảy ra khi đặc số p chia hết lực lợng của một tập ? Trong

, Cherry và Yang đã cho một ví dụ về một tập 3 phần tử là cứng affine,

nhng không là một tập xác định duy nhất trong trờng đặc số 3.

Vì không có tập cứng affine có lực lợng 2, nên cũng không có tập xác

định duy nhất có lực lượng 2 trong trờng đặc số 2 ( hoặc trong trường đặc

số bất kì ). Một số câu hỏi tiếp theo đợc đặt ra là: Có hay không tập xác

định duy nhất có lực lợng p trong trờng đặc số p ? Tồn tại hay không tập

hữu hạn cứng affine có lực lợng n mà không là tập xác định duy nhất và

khi n là một bội, nhng không là luỹ thừa của đặc số ?

Mục đích chính của luận văn là trình bày lại các kết quả của Boutabaa,

Cherry và Escassut một cách có chọn lọc theo bố cục riêng nhằm cụ thể

hoá nội dung ở trên và trả lời các câu hỏi vừa nêu.