Định nghĩa 1.1. Một phạm trù C là một lớp các vật A, B, C ... cùng với

(i) Một họ các tập rời nhau Mor(A,B) với mỗi cặp các vật A, B của C ;

(ii) Với mỗi bộ ba các vật A, B, C thuộc C , xác định một hàm ứng với mỗi Mor(A,B), và mỗi  Mor(B,C) một phần tử  Mor(A,C) ;

(iii) Một hàm ứng với mỗi vật A thuộcC một phần tử 1A Mor(A,A);

sao cho:

a) Nếu  Mor(A,B),   Mor(B,C) ,   Mor(C,D) thì ( ) =( ) ;

b) Nếu  Mor(A,B) thì 1A = = 1B .

Chú ý 1.2.

a) Nếu   Mor(A,B), ta viết  : hoặc và gọi  là một cấu xạ của C từ A vào B . Cấu xạ  được gọi là tích của các cấu xạ ,  .

b) Cấu xạ ổ của C được gọi là cấu xạ đồng nhất nếu ổ = và ổ = một khi ổ và ổ có nghĩa .

Mỗi 1A là một cấu xạ đồng nhất. Ngược lại, nếu ổ là một cấu xạ đồng nhất, thì ổ: với mỗi vật A nào đó và ổ = ổ1A = 1A .

Như vậy, cấu xạ ổ của C là đồng nhất nếu và chỉ nếu ổ =1A với duy nhất một vật A nào đó của C .

Ví dụ 1.3. (Về các phạm trù)

a) Phạm trù các tập hợp C = Set. Các vật của Set là các tập hợp.

Với A, B Set, Mor(A,B) là tập hợp các ánh xạ từ A đến B. Hợp thành các cấu xạ được hiểu theo nghĩa thông thường, chẳng hạn

: ; : thì : được định nghĩa

(a) = ( (a)), a A.

Kết cấu đề tài:

Chương 1 : Trình bày một cách chi tiết và hệ thống một số khái niệm về phạm trù

Chương 2 : Trình bày một số khái niệm về môđun bằng ngôn ngữ phạm trù như vật không, cấu xạ đơn, cấu xạ lên, tích, đối tích, nhân, đối nhân, đồng thời cũng giới thiệu khái niệm hạng tử trực tiếp tuyệt đối của môđun và chuyển một định lý quan trọng về hạng tử trực tiếp tuyệt đối trong nhóm aben sang cho môđun trên miền chính