[FONT=Times New Roman]Tóm tắt: Mã xyclic cục bộ (XCB) tuy còn non trẻ nhưng đã tỏ ra có nhiều ưu điểm thoả mãn được yêu cầu thực tế của hệ thống truyền tin. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ đề cập đến một cách phân hoạch mới trên vành đa thức chẵn Z2/x2n+1 (ký hiệu là Z2n) đó là phân hoạch theo lớp các phần tử liên hợp và từ đây xây dựng mã XCB cụ thể trên phân hoạch này.

[FONT=Times New Roman]1. Phân hoạch của vành đa thức Z2n theo các phần tử liên hợp

[FONT=Times New Roman]1.1 Các thặng dư bậc 2 và các căn bậc 2 của chúng.

[FONT=Times New Roman]Định nghĩa 1.1: Đa thức f(x) được gọi là thặng dư bậc 2 (quadratic residue - QR) trong Z2n nếu tồn tại đa thức g(x) sau:

[FONT=Times New Roman] g2(x) º f(x) mod x2n+1 (1.1) Như vậy g(x) Î Z2n và được gọi là căn bậc 2 (Square root - Sqr) của f(x).

[FONT=Times New Roman]Nếu g(x) = file:///C:/Users/PC/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif được gọi là căn bậc 2 chính của f(x).

[FONT=Times New Roman]Chẳng hạn nếu: f(x)= 1+ x2 + x4 thì căn bậc 2 chính của nó là: file:///C:/Users/PC/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif= 1+ x + x2

[FONT=Times New Roman]Bổ đề 1.1:Đa thức f(x) nằm trong tập các thặng dư bậc 2 Q2n ( f(x) Î Q2n ) khi và chỉ khi f(x) chứa các đơn thức có số mũ chẵn.

[FONT=Times New Roman]Số các thặng dư bậc 2 trong Z2n được xác định như sau:

[FONT=Times New Roman] ½Q2n½= file:///C:/Users/PC/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gif = file:///C:/Users/PC/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif = 2n (1.2)

[FONT=Times New Roman]Ví dụ 1.1: Ta xét vành Z2n với n=3 ta có vành Z6 ( n = 3)

[FONT=Times New Roman]Tập các thặng dư bậc hai Q2n trong vành Z6 được xác định theo bổ đề 2.1 như sau:

[FONT=Times New Roman]Q6 ={0, 1, x2, x4, 1+x2, 1+x4, x2+x4, 1+x2+x4} ( có tất cả 23 - tức 2n - phần tử)

[FONT=Times New Roman]Bổ đề 1.2: Các căn bậc 2 của một thặng dư bậc 2 được xác định theo công thức sau:

[FONT=Times New Roman] sqr[f(x)] = g(x) = (1+xn)file:///C:/Users/PC/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif (1.3)

[FONT=Times New Roman]Trong đó U là một tập gồm các tổ hợp tuỳ ý các giá trị trong tập s = {0, 1, 2, ., n-1}

[FONT=Times New Roman]Do vậy lực lượng của U sẽ bằng:½U½ = 2n -1

[FONT=Times New Roman]Ví dụ 1.2: Trong tập Q6 ở trên ta xét một QR bất kỳ để xác định căn bậc 2, chẳng hạn f(x)=x2

[FONT=Times New Roman]áp dụng công thức (1.3) tính các căn bậc hai ở trên ta có

[FONT=Times New Roman]sqr(x2) = (1+x3) file:///C:/Users/PC/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif (với file:///C:/Users/PC/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif=x)

[FONT=Times New Roman]+ khi U= {0, 1, 2} sqr(x2) = (1+x3)( 1+x+x2) + x = 1+x2+x3+x4+x5

[FONT=Times New Roman]+ Tương tự ta có: khi U = {0,1} sqr(x2) = (1+x3)( 1+x) + x = 1+x3+x4

[FONT=Times New Roman]Cứ như vậy ta sẽ tìm được toàn bộ 22n phần tử liên hợp của vành Z6.

[FONT=Times New Roman]Nhận xét:

[FONT=Times New Roman]- Trong vành Z2n có 2n thặng dư bậc 2, mỗi thặng dư bậc 2 có 2n căn bậc 2, vậy có tất cả 22n căn bậc 2 trong vành, các căn bậc 2 này tạo nên toàn bộ vành Z2n.

[FONT=Times New Roman]- Ta sẽ gọi các căn bậc 2 của cùng một thặng dư bậc 2 là các phần tử liên hợp (Conjugate Elements ) tương ứng với thặng dư đó ký hiệu là CEs.