LỜI NÓI ĐẦU

Trong những năm gần đây, toán học và khoa học tự nhiên đã bước lên một bậc thềm mới, sự mở rộng và sáng tạo trong khoa học trở thành một cuộc thử nghiệm liên ngành. Cho đến nay nó đã đưa khoa học tiến những bước rất dài. Hình học phân hình đã được đông đảo mọi người chú ý và thích thú nghiên cứu. Với một người quan sát tình cờ màu sắc của các cấu trúc phân hình cơ sở và vẽ đẹp của chúng tạo nên một sự lôi cuốn hình thức hơn nhiều lần so với các đối tượng toán học đã từng được biết đến. Hình học phân hình đã cung cấp cho các nhà khoa học một môi trường phong phú cho sự thám hiểm và mô hình hoá tính phức tạp của tự nhiên. Những nguyên nhân của sự lôi cuốn do hình học phân hình tạo ra là nó đã chỉnh sửa được khái niệm lỗi thời về thế giới thực thông qua tập hợp các bức tranh mạnh mẽ và duy nhất của nó.

Những thành công to lớn trong các lĩnh vực của khoa học tự nhiên và kỹ thuật dẫn đến sự ảo tưởng về một thế giới hoạt động như một cơ chế đồng hồ vĩ đại, trong đó các quy luật của nó chỉ còn phải chờ đợi để giải mã từng bước một. Một khi các quy luật đã được biết, người ta tin rằng sự tiến hoá hoặc phát triển của các sự vật sẽ được dự đoán trước chính xác hơn nhiều, ít ra là về mặt nguyên tắc. Những bước phát triển ngoạn mục đầy lôi cuốn trong lĩnh vực kỹ thuật máy tính và sự hứa hẹn cho việc điều khiển thông tin nhiều hơn nữa của nó đã làm gia tăng hy vọng của nhiều người về máy móc hiện có và cả những máy móc ở tương lai. Nhưng ngày nay người ta đã biết chính xác dựa trên cốt lỗi của khoa học hiện đại là khả năng xem xét tính chính xác các phát triển ở tương lai như thế sẽ không bao giờ đạt được. Một kết luận có thể thu được từ các lý thuyết mới còn rất non trẻ đó là : giữa sự xác định có tính nghiêm túc với sự phát triển có tính ngẫu nhiên không những không có sự loại trừ lẫn nhau mà chúng còn cùng tồn tại như một quy luật trong tự nhiên. Hình học phân hình và lý thuyết hỗn độn xác định kết luận này. Khi xét đến sự phát triển của một tiến trình trong một khoảng thời gian, chúng ta sử dụng các thuật ngữ của lý thuyết hỗn độn, còn khi quan tâm nhiều hơn đến các dạng có cấu trúc mà một tiến trình hỗn độn để lại trên đường đi của nó, chúng ta dùng các thuật ngữ của hình học phân hình là bộ môn hình học cho phép “sắp xếp thứ tự” sự hỗn độn. Trong ngữ cảnh nào đó hình học phân hình là ngôn ngữ đầu tiên để mô tả, mô hình hoá và phân tích các dạng phức tạp đã tìm thấy trong tự nhiên. Nhưng trong khi các phần tử của ngôn ngữ truyền thống (Hình học Euclide) là các dạng hiển thị cơ bản như đoạn thẳng, đường tròn và hình cầu thì trong hình học phân hình đó là các thuật toán chỉ có thể biến đổi thành các dạng và cấu trúc nhờ máy tính.

Việc nghiên cứu ngôn ngữ hình học tự nhiên này mở ra nhiều hướng mới cho khoa học cơ bản và ứng dụng. Trong đề tài này chỉ mới thực hiện nghiên cứu một phần rất nhỏ về hình học phân hình và ứng dụng của nó. Nội dung của đề tài gồm có ba chương được trình bày như sau:

Chương I: Trình bày các kiến thức tổng quan về lịch sử hình học phân hình, về các kết quả của cơ sở lý thuyết.

Chương II: Trình bày các kỹ thuật hình học phân hình thông qua sự khảo sát các cấu trúc Fractal cơ sở và thuật toán chi tiết để tạo nên các cấu trúc này.

Chương III: Kết quả cài đặt chương trình vẽ một số đường mặt fractal và các hiệu ứng.

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU. 1

Chương I:SỰ RA ĐỜI VÀ CÁC KẾT QUẢ CỦA HÌNH HỌC PHÂN HÌNH. 5

I.1 Sự ra đời của lý thuyết hình học phân hình 5

Tính hỗn độn của các quá trình phát triển có quy luật trong tự nhiên 5

Sự mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình học Eulide cổ điển 8

I.2 Sự phát triển c ủa l ý thuyết hình học phân hình 9

I.3 Các ứng dụng tổng quát của hình học phân hình 10

Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính 11

Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh 11

Ứng dụng trong khoa học cơ bản 13

I.4 Các kiến thức cơ sở của hình học phân hình 13

I.4.1 Độ đo Fractal 13

I.4.2 Các hệ hàm lặp IFS 17

Chương II : MỘT SỐ KỸ THUẬT CÀI ĐẶT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH. 21

II.1 Họ đường Von Kock 21

Đường hoa tuyết Von Kock-Nowflake 21

Đường Von Kock-Gosper 26

Đường Von Kock bậc hai 3-đoạn 28

Đường Von Kock bậc hai 8-đoạn 30

Đường Von Kock bậc hai 18-đoạn 32

Đường Von Kock bậc hai 32-đoạn 33

Đường Von Kock bậc hai 50-đoạn 35

Generator phức tạp 38

II.2 Họ đường Peano 44

Đường Peano nguyên thuỷ 44

Đường Peano cải tiến 45

Tam giác Cesaro 49

Tam giác Cesaro cải tiến 51

Một dạng khác của đường Cesaro 54

Tam giác Polya 56

Đường Peano-Gosper 58

Đường hoa tuyết Peano 7-đoạn 62

Đường hoa tuyết Peano 13-đoạn 66

II.3 Đường Sierpinski 70

II.4 Cây Fractal 73

Các cây thực tế 73

Biểu diễn toán học của cây 73

II.5 Phong cảnh Fractal 77

II.6 Hệ thống hàm lặp (IFS) 84

Các phép biến đổi Affine trong không gian R2 84

IFS của các pháp biến đổi Affine trong không gian R2 85

Giải thuật lặp ngẫu nhiên 86

II.7 Tập Mandelbrot 88

Đặt vấn đề 98

Công thức toán học 88

Thuật toán thể hiện tập Mandelbrot 89

II.8 Tập Julia 94

Đặt vấn đề 94

Công thức toán học 94

Thuật toán thể hiện tập Julia 95

II.9 Họ các đường cong Phoenix 97

Chương III : GIỚI THIỆU VỀ NGÔN NGỮ CÀI ĐẶT VÀ KẾT QUẢ CHƯƠNG TRÌNH. 100

III.1 Giới thiệu về ngôn ngữ cài đặt 100

III.2 Kết quả chương trình 111

TÀI LIỆU THAM KHẢO 116