Lời nói đầu:

Cây đỏ đen là một trong những cấu trức dữ liệu hay, cùng với cây nhị phân tìm kiếm là những cấu trúc dữ liệu có điểm mạnh trong việc lưu trữ và tìm kiếm dữ liệu. Song cây đỏ đen có những đặc tính riêng mà nhờ đó nó đã làm nổi bật những điểm mạnh của mình.

Trong phạm vi bài báo cáo này, chúng em xin trình bài về : khái quát cây đỏ đen, các thuật toán cơ bản, code cài đặt các thuật tóan cơ bản và có những nhận xét về cấu trúc cây đỏ đen này.

Chúng em chân thành cam ơn cô Phạm Phạm Tuyết Trinh đã tạo điều kiện cho chúng em tìm hiểu đề tài lý thú này. Dù hết sức cố gắng song vẫn không tránh được những sai xót nhất định chúng em mong được sư mong nhận được những đóng góp chân tình để bài làm trở nên hòan chỉnh hơn.

Nhóm thực hiện

Sv: Nguyễn Hoài Phương MSSV: 0212234

Sv:Nguyễn Hồng Phú MSSV: 0212226

Mục lục:

Lời nói đầu: 2

Mục lục: 3

I- Giới thiệu: 3

II- Định nghĩa: 5

III- Các thuật toán cơ bản của Black and Red Tree 6

1- Thêm một Node mới 6

2- Xóa một node: 14

IV- Thuật toán cài đặt: 14

V- Nhận xét : 31

I- Giới thiệu:

Cây đỏ đen được ra giới thiệu bởi Rudolf Bayer trong quyển “Symmetric Binary B-Trees: Data Structure and maintenance Algorithms”, nhà xuất bản Acta Informatica, Tâp1, trang 290-306. Sau đó Leonidas J.Guibas và Robert Sedgewick đã thêm các đặc tính của cây đỏ đen và đặt tên cho nó ( Tham khảo: Guibas, L. and Sedgewick R. “ A dichromatic Framwork for Balanced Trees”, in Proc. 19th IEEE Symp. Foundations of Computer Science, trang 8-21, năm 1978).

Ta đã biết cây tìm kiếm nhị phân thông thường có những thuận lợi lớn về mặt lưu trữ và truy xuất dữ liệu trong phép toán tìm kiếm thêm vào hay loại bỏ một phần tử. Do đó, cây tìm kiếm nhị phân xem ra là một cấu trúc lưu trữ dữ liệu tốt.

Tuy nhiên trong một số trường hợp cây tìm kiếm nhị phân có một số hạn chế. Nó hoạt động tốt nếu dữ liệu được chèn vào cây theo thứ tự ngẫu nhiên. Tuy nhiên, nếu dữ liệu được chèn vào theo thứ tự đã đuợc sắp xếp sẽ không hiệu quả. Khi các trị số cần chèn đã đuợc sắp xếp thì cây nhị phân trở nên không cân bằng. Khi cây không cân bằng, nó mất đi khả năng tìm kiếm nhanh (hoặc chèn hoặc xóa) một phần tử đã cho.

Chúng ta khảo sát một cách giải quyết vấn đề của cây không cân bằng: đó là cây đỏ đen, là cây tìm kiếm nhị phân có thêm một vài đặc điểm .

Có nhiều cách tiếp cận khác để bảo đảm cho cây cân bằng: chẳng hạn cây 2-3-4. Tuy vậy, trong phần lớn trường hợp, cây đỏ đen là cây cân bằng hiệu quả nhất, ít ra thì khi dữ liệu được lưu trữ trong bộ nhớ chứ không phải trong những tập tin.

Trước khi khảo sát cây đỏ đen, hãy xem lại cây không cân bằng được tạo ra như thế nào.

Hình 3.1. Các node được chèn theo thứ tự tăng dần

Những node này tự sắp xếp thành một đường không phân nhánh. Bởi vì mỗi node lớn hơn node đã được chèn vào trước đó, mỗi node là con phải. Khi ấy, cây bị mất cân bằng hoàn toàn. Nếu ta chèn những mục (item) theo thứ tự giảm dần, mỗi node sẽ là con trái của node cha của chúng - cây sẽ bị mất cân bằng về phía bên kia.

* Độ phức tạp:

Khi cây một nhánh, sẽ trở thành một danh sách liên kết, dữ liệu sẽ là một chiều thay vì hai chiều. Trong trường hợp này, thời gian truy xuất giảm về O(N), thay vì O(logN) đối với cây cân bằng.

Để bảo đảm thời gian truy xuất nhanh O(logN) của cây, chúng ta cần phải bảo đảm cây luôn luôn cân bằng (ít ra cũng là cây gần cân bằng). Điều này có nghĩa là mỗi node trên cây phải có xấp xỉ số node con bên phải bằng số node con bên trái.

Một cách tiếp cận giải quyết vấn đề cân bằng lại cây: đó là cây đỏ đen-là cây tìm kiếm nhị phân vì thế nó có các tính chất của cây tìm kiếm nhị phân ví dụ : node con trái nhỏ hơn node cha, node cha nhỏ hơn node con phải, bên cạnh đó cây đỏ đen còn được bổ sung một số đắc điểm.

Trong cây đỏ đen, việc cân bằng được thực thi trong khi chèn, xóa. Khi thêm một phần tử thì thủ tục chèn sẽ kiểm tra xem tính chất cân bằng của cây có bị vi phạm hay không. Nếu có, sẽ xây dựng lại cấu trúc cây. Bằng cách này, cây luôn luôn được giữ cân bằng.