VỀ CƠ SỞ KHÁCH QUAN CỦA SỰ HÌNH THÀNH NHỮNG KHÁI NIỆM ĐẦU TIÊN CỦA TOÁN HỌC
nh÷ng kh¸i niÖm ®Çu tiªn cña to¸n häc

Lê Văn Đoán

Trong khoảng thời gian hàng thế kỷ, những người đại diện cho quan điểm duy vật và duy tâm về toán học và về những vấn đề cơ sở của nó đã tiến hành một cuộc đấu tranh rất quyết liệt. Nhưng dù ở đâu và dù cuộc đấu tranh Êy mở rộng đến đâu đi chăng nữa, nó vẫn luôn luôn xoay quanh vấn đề quan hệ giữa toán học với thế giới hiện thực.

Những nhà duy vật đã chứng minh rằng những khái niệm và những quy luật của toán học là những điều ghi chép, những phản ánh thu được do kết quả của sự trừu tượng hóa từ những vật cụ thể và các tính chất của chúng. Đối với những nhà duy tâm chủ quan, những khái niệm cơ bản và những quy luật toán học là sản phẩm của sự sáng tạo tự do của tư duy, là những ký hiệu thuận tiện cho hoạt động nhận thức và thực tiễn. Đối với những nhà duy tâm khách quan thì chúng có bản chất riêng, tồn tại độc lập với thế giới hiện thực.

Chẳng hạn, Aristốt khẳng định rằng những khái niệm toán học là những điều trừu tượng xuất phát từ những sự vật cụ thể. Ngược lại Palatôn lại cho rằng những khái niệm toán học là ở giữa thế giới của các vật có tri giác và thế giới ý niệm và là những hình bóng của thế giới ý niệm. Đuy - rinh cho rằng, những khái niệm về số và về hình hình học chỉ do tư duy thuần túy tạo nên và là nền tảng đầy đủ của sự phát triển thuần túy lôgic của toán học, nhờ đó mà toán học có thể phát triển độc lập với hoạt động thực tiễn của con người, không phụ thuộc vào thế giới hiện thực.

Căng - tơ cho rằng khái niệm số tự nhiên là nhận thức bẩm sinh mà con người đã có trước khi thu được mọi kinh nghiệm.

Những nhà toán học nối gót các nhà duy tâm về thực chất cũng giải thích nguồn gốc của số tự nhiên như vậy. Nhà toán học Đê - đê - kin đã cho