Mục lục

Bảng ký hiệu i

Mở đầu iii

1 Kiến thức chuẩn bị 1

11 Một số khái niệm mở đầu 1

12 Biểu diễn các phiếm hàm tuyến tính 2

13 Sự thác triển của toán tử 7

14 Không gian Hilbert

141 Định nghĩa tích trong 8

142 Hàm thuần nhất 9

143 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 9

144 Định nghĩa không gian Hilbert 10

15 Toán tử trong không gian Hilbert 10

151 Toán tử liên hợp 10

152 Toán tử chuẩn tắc 13

153 Toán tử dương 13

154 Phép chiếu 14

155 Toán tử chéo hóa được 15

156 Toán tử unitar 16

157 Phép đẳng cự một phần 16

158 Phép phân tích cực 17

16 Các khái niệm hội tụ 18

2 Xây dựng không gian Lp cho lớp các toán tử compact 21

21 Đại số Banach 21

22 Toán tử compact 23

221 Khái niệm lớp toán tử compact 23

222 Tính chất của toán tử compact 25

223 Toán tử hạng một 27

224 Đại số Calkin 28

225 Toán tử Fredholm 29

23 Vết 30

231 Định nghĩa vết 31

232 Lớp toán tử vết và lớp toán tử Hilbert-Schmidt 32

233 Một dạng cụ thể của lớp toán tử Hilbert-Schmidt 38

234 Tích phân của toán tử compact 42

3 Xây dựng không gian Lp cho đại số von Neumann với vết chuẩn tắc chính xác nửa hữu hạn 43

31 Đại số von Neumann 43

32 Hàm vết trên đại số von Neumann 46

33 Sự hội tụ theo độ đo 48

34 Tích phân theo vết 56

341 Xây dựng tích phân theo vết 57

Kết luận 61

Tài liệu tham khảo 62

Mở đầu

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày về xây dựng các không gianLp, 1 ≤ p < ∞, cho một số lớp các đại số toán tử trên không gian Hilbertphức H Dựa trên quan điểm của lí thuyết độ đo trên không gian tô pôcompact địa phương X , coi tích phân là các phiếm hàm tuyến tính dương trên không gian Cc(X ) các hàm liên tục trên X , triệt tiêu bên ngoài một tập compact Tích phân này chính là phần tử thuộc không gian đối ngẫu của Cc(X ) Từ đó định nghĩa không gian L1 các hàm khả tích là các hàm có tích phân hữu hạn và không gian các hàm lũy thừa p khả tích LpCách xây dựng trên được áp dụng cho lớp các toán tử compact B0(H ) như là sự mở rộng của Cc(X ), cho trường hợp đại số của các toán tử tuyến tính liên tục trên H Tích phân của một toán tử thuộc B0(H ) là vết của toán tử đó Tổng quát hơn là xây dựng các không gian Lp của Edward Nelson cho đại số von Neumann với một vết chuẩn tắc chính xác nửa hữu hạn τ

Luận văn "Xây dựng không gian Lp cho đại số toán tử " gồmba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Xây dựng không gian Lp cho lớp các toán tử com- pact

Chương 3: Xây dựng không gian Lp cho đại số von-Neumann

với vết chuẩn tắc chính xác nửa hữu hạn

Chương 1 trọng tâm là phần xây dựng không gian Lp, với cơ sở là Định lý biểu diễn Riesz Trên các không gian tôpô compact địa phương ta khảo sát các phiếm hàm tuyến tính dương trên không gian các hàm giá trị thực, liên tục triệt tiêu ở ngoài một tập compact và chứng minh rằng chúng tương ứng là tích phân đối với một độ đo thích hợp nào đó Ngoài ra, chúng tôi giới thiệu sơ lược về các loại toán tử trong không gian Hilbert và sự thác triển của toán tử

Chương 2 chúng tôi trình bày khái niệm lớp toán tử compact và các tính chất Với tích phân của một toán tử compact là vết của toán tử đó,

từ đó hình thành các không gian khả tích cấp p, (1 ≤ p < ∞) Cụ thể

hơn, chúng tôi giới thiệu tính chất của lớp toán tử vết và lớp toán tử

Hilbert-Schmidt

Tổng quát hơn, chương 3 chúng tôi giới thiệu bài báo của Edward Nel- son về xây dựng tích phân trên đại số von-Neumann A theo một vết chuẩn tắc chính xác nửa hữu hạn Đại số trên không giao hoán, do đó nội dung của chương này chính là lý thuyết về tích phân không giao hoán Với cơ sở là sự hội tụ theo tô pô độ đo và định lý về các ánh xạ thác triển liên tục từ đại số von-Neumann A và không gian Hilbert H, không gian Lp chính là không gian Bannach mở rộng đầy đủ của khônggian con tuyến tính định chuẩn J của A với chuẩn ||||p

Để hoàn thành luận văn này, tác giả tỏ lòng biết ơn chân thành và sâusắc của mình tới PGSTS Phan Viết Thư, người đã tận tình hướng dẫn và đóng góp nhiều ý kiến quý báu Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tập thể các thày cô giáo, các nhà khoa học của trường Đại học Khoa học Tự Nhiên đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành cuốn luận văn này

Trong quá trình viết luận văn, mặc dù dưới sự chỉ đạo ân cần chu đáo của các thầy giáo và bản thân cũng hết sức cố gắng, song bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế thiếu sót Vì vậy, rất mong được sự góp ý, giúp đỡ của các thầy cô, các bạn để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Hà Nội, năm 2010

Học viên

Vũ Mai Liên