SAI PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNGTRONG GIẢI TOÁNNgày 11/3/2010, trong kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia lớp 12 môn toán có câu số 2(5 điểm/20 điểm; Đề có 5 câu):“Cho dãy số thực
xác định bởi :
và
với mọi n
.1/ Tìm số hạng tổng quát của dãy số
.2/ Chứng minh rằng
là dãy số giảm.”Căn cứ vào dạng công thức dãy đã cho và câu hỏi 1/ cũng có thể nghĩ ngay đến là sử dụng phương pháp sai phân.Cụ thể là:+) Dễ chứng tỏ
+) Từ giả thiết ta có:

.Áp dụng phương pháp sai phân ( Lấy tổng hai vế của đẳng thức trên,
) ta có:
.Hay

.Như vậy là dùng phương pháp sai phân ta đã tìm được số hạng tổng quát của dãy số.( Việc chứng minh dãy giảm là đơn giản: Điều cần chứng minh tương đương với:

Ta có: 1
. Bất đẳng thức (*) được chứng minh)....