Chương 1: CáC KIếN THứC CƠ Sở.1.1. Hàm Lipschitz.Giả sử X là không gian Banach,
.Định nghĩa 1.1.a. Hàm f được gọi là Lipschitz địa phươnng tại
, hay Lipschitz ở gần
, nếu tồn tại lân cận U của
, số K > 0 sao cho:

(1.1)Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập
, nếu f Lipschitz địa phương tại mọi
.b. Hàm được gọi là Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz K trên tập
, nếu (1.1) đúng với mọi
.Định lí 1.1.Giả sử f là hàm Lipschitz trên tập lồi
. Khi đó, với mọi
, hàm số

có đạo hàm hầu khắp nơi.Chứng minhBởi vì f Lipschitz trên U, cho nên có tồn tại số K > 0 sao cho:

. (1.2)Ta có hàm

là tuyệt đối liên tục.Thật vậy, ta lấy các khoảng rời nhau
trong [0,1]. Khi dó, từ (1.2) ta có: Với...