Bài 12: Cho ánh xạ tuyến tính φ: V → V. Chứng minh rằng: Nếu φ2 = φ thì V = Imφ ⴲ Kerφ.GiảiĐể c/m: V = Imφ ⴲ Kerφ, ta cần c/m:V = Imφ + KerφImφ ⋂ Kerφ = {θ}C/m: V = Imφ + KerφV ⊂ Imφ + KerφV ⊃ Imφ + KerφDễ thấy:☺ Imφ ⊂ V☺ Kerφ ⊂ V⇒ Imφ + Kerφ ⊂ V. (1)Ta xét: ∀x∊V: x = φ(x) + (x – φ(x)), trong đó φ(x) ∊ Imφ.Mặt khác: φ(x – φ(x)) = φ(x) – φ(φ(x)) = φ(x) – φ(x) = {θ}⇒ x – φ(x) ∊ Kerφ.Do đó: x ∊ Imφ + Kerφ⇒ V ⊂ Imφ + Kerφ. (2)Từ (1),(2) suy ra: V = Imφ + Kerφ. (Ⅰ)C/m: Imφ ⋂ Kerφ = {θ}Giả sử y = Imφ ⋂ Kerφ:y ∊ Imφ (✼)y ∊ Kerφ (✼✼)Từ (✼) suy ra: ∃x ∊ V: φ(x) = yTa có: y = φ(x) = φ(φ(x)) = φ(y) = θ (Do (✼✼))Vậy: Imφ...