TÓM TẮT NỘI DUNG

Mặc dù đã được nghiên cứu từ rất lâu, nhưng đến nay bài toán nội suy và xấp xỉ hàm nhiều biến vẫn còn có rất ít công cụ toán học để giải quyết. Mạng Nơron nhân tạo là một phương pháp hay để giải quyết bài toán nội suy, xấp xỉ hàm nhiều biến. Năm 1987 M.J.D. Powell đã đưa ra một cách tiếp cận mới để giải quyết bài toán nội suy hàm nhiều biến sử dụng kỹ thuật hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Function - RBF), năm 1988 D.S. Bromhead và D. Lowe đề xuất kiến trúc mạng Nơron RBF và đã trở một công cụ hữu hiệu để giải quyết bài toán nội suy và xấp xỉ hàm nhiều biến(xem ).

Năm 2006 Hoàng Xuân Huấn và các cộng sự (xem ) đã đưa ra thuật toán lặp hai pha để huấn luyện mạng nơron RBF và đã cho ra kết quả tốt tuy nhiên nhược điểm của nó là sai số lớn hơn khi dữ liệu phân bố không đều. Khi áp dụng phương pháp này trên bộ dữ liệu cách đều đã cho ta thuật toán lặp một pha HDH mới với thời gian và tính tổng quát tốt hơn rất nhiều. (xem )

Nội dung của khóa luận này là ứng dụng thuật toán huấn luyện mạng nơron RBF với mốc cách đều để đưa ra một phương pháp nội suy xấp xỉ hàm nhiều biến với bộ dữ liệu có nhiễu trắng và chứng minh hiệu quả thông qua việc xây dựng phần mềm nội suy hàm số.

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 BÀI TOÁN NỘI SUY, XẤP XỈ HÀM SỐ VÀ MẠNG NƠRON RBF 5

1.1 BÀI TOÁN NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ 5

1.1.1 Bài toán nội suy. 5

1.1.1.1 Nội suy hàm một biến. 5

1.1.1.2 Bài toán nội suy hàm nhiều biến. 6

1.1.2 Bài toán xấp xỉ 6

1.1.3 Các phương pháp giải bài toán nội suy và xấp xỉ hàm số 6

1.2 MẠNG NƠRON NHÂN TẠO 7

1.2.1 Mạng nơron sinh học : 7

1.2.2 Mạng Nơron nhân tạo 8

1.3 MẠNG NƠRON RBF 12

1.3.1 Kỹ thuật hàm cơ sở bán kính và mạng nơron RBF 12

1.3.2 Kiến trúc mạng Nơron RBF 14

1.3.3 Đặc điểm huấn luyện của mạng Nơron RBF 15

CHƯƠNG 2 THUẬT TOÁN LẶP HDH HUẤN LUYỆN MẠNG RBF 16

2.1 THUẬT TOÁN LẶP HDH HAI PHA HUẤN LUYỆN MẠNG RBF 16

2.1.1 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình tuyến tính 16

2.1.2 Thuật toán lặp hai pha huấn luyện mạng RBF 16

2.1.3 Mô tả thuật toán. 17

2.1.4 Nhận xét 18

2.2 THUẬT TOÁN LẶP HDH MỘT PHA HUẤN LUYỆN MẠNG RBF VỚI BỘ DỮ LIỆU CÁCH ĐỀU 19

2.2.1 Biểu diễn các mốc nội suy 19

2.2.2 Mô tả thuật toán : 19

2.2.3 Nhận xét 20

CHƯƠNG 3 : ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN LẶP MỘT PHA HUẤN LUYỆN MẠNG RBF VÀO VIỆC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN NỘI SUY XẤP XỈ VỚI DỮ LIỆU NHIỄU TRẮNG 21

3.1 NHIỄU TRẮNG VÀ BÀI TOÁN XẤP XỈ NỘI SUY VỚI DỮ LIỆU NHIỄU 21

3.1.1 Bản chất của nhiễu trắng 21

3.1.2 Phân phối chuẩn 22

3.1.3 Bài toán nội suy xấp xỉ hàm với dữ liệu nhiễu trắng 23

3.2 PHƯƠNG PHÁP HỒI QUY TUYẾN TÍNH K HÀNG XÓM GẦN NHẤT 24

3.2.1 Phát biểu bài toán hồi quy. 24

3.2.2 Mô tả phương pháp kNN 24

3.3. Ý TƯỞNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN NỘI SUY XẤP XỈ VỚI DỮ NHIỆU NHIỄU 25

CHƯƠNG 4 XÂY DỰNG PHẦN MỀM MÔ PHỎNG 27

4.1 LẬP TRÌNH SINH NHIỄU TRẮNG THEO PHÂN PHỔI CHUẨN 27

4.1.1 Phương pháp Box-Muller 27

4.1.2 Sinh nhiễu trắng từ hàm rand() trong C++ 28

4.2 LẬP TRÌNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA BÀI TOÁN HỒI QUY TUYẾN TÍNH KNN 28

4.3 GIỚI THIỆU PHẦN MỀM XẤP XỈ NỘI SUY VỚI DỮ LIỆU NHIỄU 29

4.3.1 Tổng quan phần mềm 29

4.3.2 Tổ chức dữ liệu 29

4.3.3 Giao diện và chức năng 30

4.3.3.1 Tab “Nhập dữ liệu theo file” 30

4.3.3.2 Tab “Tự nhập” 32

CHƯƠNG 5 KẾT QUẢ THÍ NGHIỆM 34

5.1 THÍ NGHIỆM VỀ VIỆC THAY ĐỔI KÍCH THƯỚC LƯỚI 34

5.2 THÍ NGHIỆM VỀ VIỆC CHỌN K 37

5.3 THÍ NGHIỆM KHI TĂNG SỐ CHIỀU 39

5.4 SO SÁNH HIỆU QUẢ VỚI PHƯƠNG PHÁP KHÁC 40

CHƯƠNG 6 TỔNG KẾT VÀ PHƯƠNG HƯỚNG PHÁT TRIỂN 42

6.1 Tổng kết 42

6.2 Phương hướng phát triển của đề tài 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

MỞ ĐẦU

Nội suy và xấp xỉ hàm số là một bài toán quen thuộc và rất quan trọng trong các lĩnh vực khoa học đời sống từ xưa đến nay. Trường hợp hàm số một biến đã được nhà toán học Lagrange nghiên cứu và giải quyết khá tốt bằng việc dùng hàm nội suy đa thức từ thế kỷ 18. Trường hợp hàm nhiều biến vì những khó khăn trong xử lý toán học cũng như tính ứng dụng trước đây chưa nhiều nên các công cụ giải quyết bài toán hàm nhiều biến vẫn còn rất hạn chế. Ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của máy vi tính mà bài toán nội suy và xấp xỉ hàm nhiền biến đã trở thành một vấn đề thời sự vì tính ứng dụng lớn của nó để giải quyết các vấn đề thực tiễn như phân lớp, nhận dạng mẫu .

Mạng nơron nhân tạo được biết đến như một giải pháp tốt cho vấn đề này. Ban đầu, khái niệm “Nơron nhân tạo” được biết đến lần đầu vào khoảng đầu thế kỷ 20 trong nỗ lực của con người nhằm chế tạo ra các bộ máy có khả năng suy nghĩ và học hỏi như loài người bằng việc mô phỏng mạng nơron sinh học trong bộ não của chúng ta. Trải qua nhiều năm phát triển và nghiên cứu, cơ sở lý thuyết và thực nghiệm về mạng nơron nhân tạo đã có nhiều bước tiến đáng kể. Trong khoảng 30 năm trở lại đây, với việc có thêm khả năng tính toán mạnh mẽ từ máy vi tính mà mạng nơron nhân tạo được coi là một trong những công cụ có thể giải quyết tốt bài toán nội suy hàm nhiều biến và trong thực tế hiện nay, mạng nơron nhân tạo đã được ứng dụng rất nhiều trong các ứng dụng nội suy hàm nhiều biến như phân lớp, nhận dạng mẫu . Mạng nơron nhân tạo có nhiều loại, trong đó có mạng nơron RBF - sau này được gọi tắt là mạng RBF - được coi là một trong những loại nơron nhân tạo tốt nhất để giải quyết bài toán nội suy hàm nhiều biến. Mạng RBF đã được chú trọng nghiên cứu và đã có khá nhiều thuật toán huấn luyện mạng RBF được áp dụng nhiều trong các ứng dụng cho thấy kết quả rất khả quan. Cùng với nhu cầu huấn luyện mạng RBF một nghiên cứu mới đây được thực hiện bởi Hoàng Xuân Huấn và các cộng sự (xem ) để xây dựng thuật toán huấn luyện nhanh mạng RBF đã cho ra đời một thuật toán lặp được đặt tên là là thuật toán HDH. Kết quả thực nghiệm cho thấy thuật toán lặp HDH gồm có hai pha, khi nội suy hàm nhiều biến cho sai số và tốc độ tính toán rất tốt so với các thuật toán hiện hành khác. Đặc biệt khi huấn luyện trên bộ dữ liệu cách đều thì thuật toán này chỉ cần dùng một pha và giảm tiếp phần lớn thời gian tính toán. (xem )

Ngoài ra trong các ứng dụng thực tế với các bài toán nội suy người ta còn thẩy nổi lên một vấn đề quan trọng khác, đó là do các các yếu tố khách quan, bất khả kháng mà nảy sinh sai số tại kết quả đo tại các mốc nội suy. Việc tiến hành xây dựng hệ thống nội suy xấp xỉ dựa trên các dữ liệu sai lệch làm cho hiệu quả bị thấp. Đây là một bài toán được đặt ra từ lâu nhưng vẫn còn thu hút nhiều nghiên cứu, cải tiến cho đến tận bây giờ. Nhiều nghiên cứu đã được tiến hành để vừa nội suy xấp xỉ tốt vừa khử được nhiễu, một phương pháp được biết đến là phương pháp hồi quy tuyến tính k hàng xóm gần nhất, (từ giờ xin gọi tắt là phương pháp kNN ) bằng việc xây dựng hàm tuyến tính bậc 1 để cực tiểu hóa sai số tại k điểm gần nhất so với điểm cần tìm giá trị nội suy. Nhược điểm của phương pháp này là chỉ có thể tính được giá trị hồi quy tại 1 điểm được chỉ định trước, với mỗi điểm cần tính toán lại phải hồi quy lại từ đầu, không thể xây dựng nên 1 hệ thống cho phép đưa ra ngay kết quả nội suy hàm số tại điểm tùy ý.

Với bài toán nội suy xấp xỉ trên dữ liệu nhiễu này, Hoàng Xuấn Huấn đã nảy ra ý tưởng ứng dụng thuật toán lặp HDH một pha để giải quyết, cụ thể là trên miền giá trị các mốc nội suy ban đầu, ta xây dựng nên 1 bộ các mốc nội suy mới cách đều nhau (từ giờ xin được gọi là lưới nội suy cho gọn), sau đó dùng phương pháp hồi quy tuyến tính kNN để tính giá trị tại mỗi nút của lưới nội suy mới, cuối cùng dùng thuật toán lặp HDH một pha để huấn luyện mạng nơron RBF trên bộ dữ liệu cách đều mới này, ta sẽ được một mạng nơron RBF vừa khử được nhiễu vừa nội suy xấp xỉ tốt. Phương pháp này có thể kết hợp ưu điểm khử nhiễu của phương pháp kNN với ưu điểm về tốc độ và tính tổng quát của thuật toán lặp HDH một pha đồng thời loại bỏ tính bất tiện của phương pháp kNN như đã nêu trên và hạn chế của thuật toán HDH một pha rằng dữ liệu đầu vào phải có các mốc nội suy cách đều.

Từ ý tưởng ban đầu này đến thực tế, với vô số câu hỏi cần lời đáp, như chia lưới cách đều thế nào là đủ ? Nếu quá thưa thì sai số có quá lớn không ? Nếu quá dày thì liệu thời gian huấn luyện có đạt yêu cầu không ? Các yếu tố nào ảnh hưởng đến hiệu quả huấn luyện để từ đó điều chỉnh làm tăng chất lượng mạng ? . là một đề tài hết sức thú vị để tìm hiểu. Dưới sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của thầy Hoàng Xuân Huấn, tôi đã tiến hành thực hiện khóa luận tốt nghiệp, nội dung là nghiên cứu thực nghiệm để cụ thể hóa và kiểm chứng hiệu quả của phương pháp mới này, lấy tên đề tài là : “Huấn luyện mạng nơron RBF với mốc cách đều và ứng dụng”.

Nội dung của khóa luận sẽ đi sâu nghiên cứu những vấn đề sau :

- Khảo cứu mạng nơron RBF.

- Khảo cứu nghiên cứu thuật toán lặp HDH một pha với bộ dữ liệu cách đều.

- Tìm hiểu nhiễu trắng phân phối chuẩn và cách xây dựng.

- Khảo cứu phương pháp hồi quy tuyến tính kNN.

- Xây dựng phần mềm mô phỏng hệ thống nội suy hàm nhiều biến với dữ liệu có nhiễu dựa trên việc kết hợp phương pháp kNN và thuật toán lặp HDH một pha.

- Thông qua lý thuyết lẫn thực nghiệm, nghiên cứu đặc điểm, cải tiến hiệu quả phương pháp này, chỉ ra ưu điểm so với các phương pháp khác.

Để trình bày các nội dung nghiên cứu một cách logic, nội dung khóa luận được chia làm 4 phần chương chính :

- Chương 1 : Bài toán nội suy xấp xỉ hàm số và mạng nơron RBF :

Chương này sẽ cung cấp cái nhìn tổng thể về những khái niệm xuyên suốt trong khóa luận, bao gồm : bài toán nội suy xấp xỉ hàm nhiều biến, mạng RBF.

- Chương 2 : Thuật toán lặp HDH huấn luyện mạng nơron RBF.

Chương này sẽ mô tả phương pháp huấn luyện mạng RBF bằng thuật toán HDH hai pha với dữ liệu ngẫu nhiên và đặc biệt là thuật toán HDH một pha với dữ liệu cách đều làm nền tảng cho phương pháp mới.

Chương 3 : Ứng dụng thuật toán lặp một pha huấn luyện mạng RBF vào việc giải quyết bài toán nội suy xấp xỉ với dữ liệu nhiễu trắng.

Chương này sẽ khảo cứu về nhiễu trắng và phương pháp hồi quy tuyến tính kNN. Từ đó trình bày ý tưởng mới để áp dụng thuật toán HDH một pha trên bộ dữ liệu không cách đều và có nhiễu bằng cách thay bộ dữ liệu đầu vào ban đầu bằng bộ dữ liệu mới với các mốc nội suy cách đều và đã kết quả đo đã được khử nhiễu thông qua phương pháp kNN. Nó cùng với chương 5 thực nghiệm là hai chương trọng tâm của khóa luận này.

- Chương 4 : Xây dựng phần mềm mô phỏng.

Chương này tôi trình bày về phương pháp giải quyết các bài toán nhỏ như sinh nhiễu trắng theo phân phối chuẩn, hồi quy tuyến tính kNN để đưa ra phương hướng lập trình cho chúng. Đồng thời trình bày tổng quan và giao diện, các chức năng của phần mềm

- Chương 5 : Kết quả thí nghiệm

Chương này tôi trình bày quá trình và kết quả nghiên cứu thực nghiệm, bao gồm việc xây dựng phần mềm mô phỏng, nghiên cứu tính tổng quát với các hàm, các bộ dữ liệu với nhau. Rút ra kết luận về đặc điểm, cách chọn lưới dữ liệu, chọn k để hoàn thiện phương pháp này. Đồng thời so sánh sai số của phương pháp này với sai số một phương pháp khác đã được công bố tại một tạp chí khoa học quốc tế có uy tín.

- Chương 6: Tổng kết và phương hướng phát triển đề tài

Chương này tôi tổng kết lại những gì làm được trong khóa luận này và phương hướng phát triển cho đề tài